Dado o polinômio g(x), determine, em cada item, o polinômio f(x), satisfazendo a condição indicada:
2 f(x)+3 g(x)=4 x^{5}+x^{3}+x^{2}-x+1, g(x)=2 x^{4}-x^{3}-x^{2}+3 x+5.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
g(x)=2x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x+5
e pede para achar f(x) tal que
2f(x)+3g(x)=4x^{5}+x^{3}+x^{2}-x+1.
O conteúdo é manipulação de polinômios e resolução de uma equação algébrica em f(x).

Passo 2

Isolamos f(x) na equação acima:
2f(x)=4x^{5}+x^{3}+x^{2}-x+1-3g(x),
logo
f(x)=\frac{4x^{5}+x^{3}+x^{2}-x+1-3g(x)}{2}.

Passo 3

Calculamos primeiro 3g(x):
3g(x)=3\bigl(2x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x+5\bigr) =6x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+9x+15.

Passo 4

Subtraímos esse resultado de 4x^{5}+x^{3}+x^{2}-x+1:
4x^{5}+x^{3}+x^{2}-x+1-\bigl(6x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+9x+15\bigr) =4x^{5}-6x^{4}+4x^{3}+4x^{2}-10x-14.

Passo 5

Finalmente, dividimos o polinômio obtido por 2 para encontrar f(x):
f(x)=\frac{4x^{5}-6x^{4}+4x^{3}+4x^{2}-10x-14}{2} =2x^{5}-3x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-5x-7.

Resposta

f(x)=2x^{5}-3x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-5x-7.

Exercícios relacionados