Dado o polinômio g(x), determine, em cada item, o polinômio f(x), satisfazendo a condição indicada:
3 f(x)-2 g(x)+5 x-3=6 x^{3}+5 x^{2}-3 x-2, g(x)=5 a x^{3}-b x^{2}+2 x+c.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
g(x)=5a\,x^{3}-b\,x^{2}+2x+c
e pede para encontrar f(x) tal que
3\,f(x)-2\,g(x)+5x-3=6x^{3}+5x^{2}-3x-2.
O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de polinômios: vamos isolar f(x).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a relação dada e trazemos 2g(x) para o lado direito:
3\,f(x)=6x^{3}+5x^{2}-3x-2 \;+\;2\,g(x)\;-\;5x\;+\;3.
Em seguida substituímos g(x):

Passo 3

Calculamos 2\,g(x):
2\,g(x)=2\bigl(5a\,x^{3}-b\,x^{2}+2x+c\bigr) =10a\,x^{3}-2b\,x^{2}+4x+2c.
Logo o lado direito fica
6x^{3}+5x^{2}-3x-2 \;+\;(10a\,x^{3}-2b\,x^{2}+4x+2c) \;-\;5x+3.
Agrupando termos semelhantes:
(6+10a)x^{3}+(5-2b)x^{2}+(-3+4-5)x+( -2+2c+3 ).
Isto é,
(10a+6)x^{3}+(5-2b)x^{2}-4x+(2c+1).

Passo 4

Portanto
3\,f(x)=(10a+6)x^{3}+(5-2b)x^{2}-4x+(2c+1),
e basta dividir ambos os lados por 3 para obter f(x).

Resposta

f(x)=\frac{10a+6}{3}\,x^{3}+\frac{5-2b}{3}\,x^{2}-\frac{4}{3}\,x+\frac{2c+1}{3}.

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