Dado o polinômio racional
e sua decomposição em frações parciais, se multiplicarmos ambos os membros por
, obteremos:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade (após multiplicar pela função
):
O que nos pedem é determinar os coeficientes
que tornam essa identidade verdadeira para todo
.
Informações relevantes dadas: o numerador e o denominador fatorado
; a forma da decomposição em frações parciais com termos para as potências de
até
e para
até
.
Informações relevantes dadas: o numerador
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os coeficientes associados ao pólo
, ou seja
. Para isso é útil definir a função
Se escrevermos a expansão de Laurent de
em torno de
, então multiplicando por
obtemos uma série regular
Logo temos as relações simples (derivadas centrais):
Agora vamos calcular
.
Passo 3
Calcular
com
e
. Primeiro derivadas necessárias:
Defina
. Então
e
Com isso:
Passo 4
Usamos a fórmula da derivada de quociente para
. Primeiro avalie em
:
Agora a primeira derivada:
Avalie em
:
Então o numerador em
é
. Logo
Passo 5
Calcule
. Podemos usar a derivada de
ou a fórmula simplificada (visto que o numerador de
anula em
, a expressão simplifica). A forma conveniente é
pois o termo envolvendo
anula em
. Já temos:
Logo
Passo 6
Agora extraímos
pelas fórmulas do Passo 2:
Passo 7
Seguimos para os coeficientes relativos ao fator irreduzível
. Observe que as raízes desse polinômio são as raízes primitivas cúbicas
com
, e satisfazem
. Substituindo
na identidade polinomial (a parte multiplicada por
), todos os termos que têm fator
se anulam; sobra apenas
Mas usando
temos
, então
. Como
, deduzimos
O mesmo vale para a conjugada
, então o polinômio linear
tem duas raízes distintas
; portanto ele é identicamente nulo, isto é
Passo 8
Restam
. Voltemos à identidade multiplicada por
e isolemos o termo correspondente:
pois já sabemos
. Assim
Substituímos
,
,
e calculamos explicitamente o numerador.
Passo 9
Calcule
.
Calcule .
Multiplicando (mostro o produto):
Calcule
Multiplicando
Assim
Passo 10
Agora o numerador
que precisamos é
Calculando termo a termo:
Como vimos antes, temos
Passo 11
Dividimos
por
. A divisão dá um quociente
isto é
. Em seguida dividimos
por
; a divisão é exata e o quociente é
Logo
Comparando com a expressão desejada, concluímos
Passo 12
Portanto os coeficientes são:
Já havíamos obtido
e, do Passo 6,
.