Dado o polinômio racional \frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} e sua decomposição em frações parciais, se multiplicarmos ambos os membros por H(x)=(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}, obteremos:
\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}=
\left(\frac{A_{1}}{(x-1)}+\frac{A_{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{B_{1} x+C_{1}}{\left(x^{2}+x+1\right)}+\frac{B_{2} x+C_{2}}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}\right)
\times(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade (após multiplicar pela função H(x)=(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}):
x^{5}+x+1= A_{1}(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2} +A_{2}(x-1)(x^{2}+x+1)^{2} +A_{3}(x^{2}+x+1)^{2}
\qquad\qquad+(B_{1}x+C_{1})(x-1)^{3}(x^{2}+x+1) +(B_{2}x+C_{2})(x-1)^{3}.
O que nos pedem é determinar os coeficientes \;A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},C_{1},B_{2},C_{2}\; que tornam essa identidade verdadeira para todo x.
Informações relevantes dadas: o numerador x^{5}+x+1 e o denominador fatorado (x-1)^{3}(x^{2}+x+1)^{2}; a forma da decomposição em frações parciais com termos para as potências de (x-1) até 3 e para (x^{2}+x+1) até 2.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os coeficientes associados ao pólo x=1, ou seja A_{1},A_{2},A_{3}. Para isso é útil definir a função
s(x)=(x-1)^{3}\cdot\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}(x^{2}+x+1)^{2}}=\frac{x^{5}+x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
Se escrevermos a expansão de Laurent de \frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}(x^{2}+x+1)^{2}} em torno de x=1, então multiplicando por (x-1)^{3} obtemos uma série regular
s(x)=A_{3}+A_{2}(x-1)+A_{1}(x-1)^{2}+\text{termos de ordem }(x-1)^{3}\text{ ou maiores}.
Logo temos as relações simples (derivadas centrais):
A_{3}=s(1),\qquad A_{2}=s'(1),\qquad A_{1}=\frac{s''(1)}{2}.
Agora vamos calcular s(1),s'(1),s''(1).

Passo 3

Calcular s(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com p(x)=x^{5}+x+1 e q(x)=(x^{2}+x+1)^{2}. Primeiro derivadas necessárias:
p'(x)=5x^{4}+1,\qquad p''(x)=20x^{3}.
Defina r(x)=x^{2}+x+1. Então q(x)=r(x)^{2} e
r(1)=3,\quad r'(x)=2x+1,\\ r'(1)=3,\quad r''(x)=2,\\ r''(1)=2.
Com isso:
q(1)=r(1)^{2}=9,
q'(x)=2r(x)r'(x)\Rightarrow q'(1)=2\cdot 3\cdot 3=18,
q''(x)=2\big(r'(x)^{2}+r(x)r''(x)\big)\Rightarrow q''(1)=2\big(3^{2}+3\cdot 2\big)=30.

Passo 4

Usamos a fórmula da derivada de quociente para s(x)=p(x)/q(x). Primeiro avalie em x=1:
s(1)=\frac{p(1)}{q(1)}=\frac{1^{5}+1+1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Agora a primeira derivada:
s'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Avalie em x=1:
p'(1)=5\cdot1^{4}+1=6,\qquad p(1)=3,\qquad q(1)=9,\qquad q'(1)=18.
Então o numerador em 1 é 6\cdot 9 - 3\cdot 18=54-54=0. Logo
s'(1)=0.

Passo 5

Calcule s''(1). Podemos usar a derivada de s'(x) ou a fórmula simplificada (visto que o numerador de s' anula em 1, a expressão simplifica). A forma conveniente é
s''(1)=\frac{p''(1)q(1)-p(1)q''(1)}{q(1)^{2}},
pois o termo envolvendo p'q-pq' anula em x=1. Já temos:
p''(1)=20,\qquad q''(1)=30,\qquad q(1)=9,\qquad p(1)=3.
Logo
s''(1)=\frac{20\cdot 9 - 3\cdot 30}{9^{2}}=\frac{180-90}{81}=\frac{90}{81}=\frac{10}{9}.

Passo 6

Agora extraímos A_{3},A_{2},A_{1} pelas fórmulas do Passo 2:
A_{3}=s(1)=\frac{1}{3},\qquad A_{2}=s'(1)=0,\qquad A_{1}=\frac{s''(1)}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{9}=\frac{5}{9}.

Passo 7

Seguimos para os coeficientes relativos ao fator irreduzível x^{2}+x+1. Observe que as raízes desse polinômio são as raízes primitivas cúbicas \alpha,\bar\alpha com \alpha^{3}=1,\\ \alpha\ne1, e satisfazem \alpha^{2}+\alpha+1=0. Substituindo x=\alpha na identidade polinomial (a parte multiplicada por H), todos os termos que têm fator (x^{2}+x+1) se anulam; sobra apenas
\alpha^{5}+\alpha+1=(B_{2}\alpha+C_{2})(\alpha-1)^{3}.
Mas usando \alpha^{3}=1 temos \alpha^{5}=\alpha^{2}, então \alpha^{5}+\alpha+1=\alpha^{2}+\alpha+1=0. Como (\alpha-1)^{3}\ne0, deduzimos
B_{2}\alpha+C_{2}=0.
O mesmo vale para a conjugada \bar\alpha, então o polinômio linear B_{2}x+C_{2} tem duas raízes distintas \alpha,\bar\alpha; portanto ele é identicamente nulo, isto é
B_{2}=0,\qquad C_{2}=0.

Passo 8

Restam B_{1},C_{1}. Voltemos à identidade multiplicada por H e isolemos o termo correspondente:
x^{5}+x+1- \big(A_{1}(x-1)^{2}+A_{2}(x-1)+A_{3}\big)(x^{2}+x+1)^{2} =(B_{1}x+C_{1})(x-1)^{3}(x^{2}+x+1),
pois já sabemos B_{2}=C_{2}=0. Assim
B_{1}x+C_{1}=\frac{x^{5}+x+1- \big(A_{1}(x-1)^{2}+A_{3}\big)(x^{2}+x+1)^{2}}{(x-1)^{3}(x^{2}+x+1)}.
Substituímos A_{1}=\tfrac{5}{9}, A_{2}=0, A_{3}=\tfrac{1}{3} e calculamos explicitamente o numerador.

Passo 9

Calcule u(x)=A_{1}(x-1)^{2}+A_{3}=\dfrac{5}{9}(x-1)^{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}(5x^{2}-10x+8).
Calcule v(x)=(x^{2}+x+1)^{2}=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1.
Multiplicando u(x)v(x) (mostro o produto):
(5x^{2}-10x+8)(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1) =5x^{6}+0x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+9x^{2}+6x+8.
Assim
u(x)v(x)=\frac{1}{9}\big(5x^{6}+0x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+9x^{2}+6x+8\big).

Passo 10

Agora o numerador N(x) que precisamos é
N(x)=9\big(x^{5}+x+1\big)-\big(5x^{6}+0x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+9x^{2}+6x+8\big).
Calculando termo a termo:
N(x)=-5x^{6}+9x^{5}-3x^{4}+4x^{3}-9x^{2}+3x+1.
Como vimos antes, temos
\frac{N(x)}{9}=(B_{1}x+C_{1})(x-1)^{3}(x^{2}+x+1).

Passo 11

Dividimos N(x) por x^{2}+x+1. A divisão dá um quociente
Q_{1}(x)=-5x^{4}+14x^{3}-12x^{2}+2x+1,
isto é N(x)=(x^{2}+x+1)Q_{1}(x). Em seguida dividimos Q_{1}(x) por (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1; a divisão é exata e o quociente é
\frac{Q_{1}(x)}{(x-1)^{3}}=-5x-1.
Logo
\frac{N(x)}{9}= (x^{2}+x+1)\cdot (x-1)^{3}\cdot\frac{-5x-1}{9}.
Comparando com a expressão desejada, concluímos
B_{1}x+C_{1}=\frac{-5x-1}{9}.

Passo 12

Portanto os coeficientes são:
B_{1}=-\frac{5}{9},\qquad C_{1}=-\frac{1}{9}.
Já havíamos obtido B_{2}=0,\\ C_{2}=0 e, do Passo 6, A_{1}=\dfrac{5}{9},\\ A_{2}=0,\\ A_{3}=\dfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle A_{1}=\frac{5}{9}
\displaystyle A_{2}=0
\displaystyle A_{3}=\frac{1}{3}
\displaystyle B_{1}=-\frac{5}{9}
\displaystyle C_{1}=-\frac{1}{9}
\displaystyle B_{2}=0
\displaystyle C_{2}=0

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