Determine se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:
Seja f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} contínua em [8, \infty),
\int_{8}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x=\lim _{c \rightarrow \infty} \int_{8}^{c} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x=\lim _{c \rightarrow \infty}\left[\frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{2}\right]_{8}^{c}=\lim _{c \rightarrow \infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{c^{2}}}{2}-\frac{3 \sqrt[3]{(-8)^{2}}}{2}\right)=\infty como o limite acima não existe, a integral diverge

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} contínua em [8,\infty) e pede para determinar se a integral imprópria
\int_{8}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx
converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é \frac{1}{\sqrt[3]{x}}.
  • O intervalo de integração é [8,\infty), logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A integral deve ser interpretada como o limite
\lim_{c\to\infty}\int_{8}^{c}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx.
A pergunta explícita: essa integral é convergente (limite finito) ou divergente (limite infinito ou inexistente)?

Passo 2

Definição e critério que vamos usar: uma integral imprópria com limite infinito converge se e somente se o limite
\lim_{c\to\infty}\int_{8}^{c}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx
existe e é finito. Caso esse limite seja infinito ou não exista, dizemos que a integral diverge. Portanto nosso objetivo é calcular a integral indefinida, avaliar entre 8 e c e tomar o limite quando c\to\infty.

Passo 3

Reescrever o integrando em potência para aplicar a regra de potência:
\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}.
Regra de potência para primitiva (fórmula): para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=-\tfrac{1}{3}, que não é -1, então podemos aplicar a fórmula. Explico rápido por que: a derivada de x^{p+1}/(p+1) é x^{p} (pela regra do poder), então é primitiva correta.

Passo 4

Aplicando a fórmula com p=-\tfrac{1}{3}:
p+1 = -\tfrac{1}{3}+1 = \tfrac{2}{3},
portanto
\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C.
Observação de notação: x^{2/3} = \sqrt[3]{x^{2}}, então também podemos escrever a primitiva como \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^{2}}.

Passo 5

Avaliar a integral definida \int_{8}^{c} x^{-1/3}\,dx usando a primitiva:
\int_{8}^{c} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_{8}^{c} = \frac{3}{2}\bigl(c^{2/3}-8^{2/3}\bigr).
Calcular 8^{2/3}: primeiro \sqrt[3]{8}=2, então 8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^{2}=2^{2}=4. Assim
\int_{8}^{c} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \frac{3}{2}\bigl(c^{2/3}-4\bigr).

Passo 6

Tomar o limite quando c\to\infty:
\lim_{c\to\infty}\frac{3}{2}\bigl(c^{2/3}-4\bigr)=\frac{3}{2}\lim_{c\to\infty}c^{2/3}-\frac{3}{2}\cdot 4.
Como c^{2/3}\to\infty quando c\to\infty, o limite é +\infty. Portanto a integral imprópria diverge (mais precisamente diverge para +\infty).
Passo extra (teste rápido que vale decorar para prova): para integrandos do tipo x^{-p} em [a,\infty) com a>0, a integral converge se e somente se p>1. Aqui o nosso expoente efetivo é p=\tfrac{1}{3}<1, então pela regra rápida já se conclui divergência sem calcular primitiva. Útil para checar rápido em prova.

Resposta

A integral diverge (tende a +\infty).

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