Determine se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:
Seja
contínua em
,
como o limite acima não existe, a integral diverge
Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
contínua em
e pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. - A integral deve ser interpretada como o limite
A pergunta explícita: essa integral é convergente (limite finito) ou divergente (limite infinito ou inexistente)?
Passo 2
Definição e critério que vamos usar: uma integral imprópria com limite infinito converge se e somente se o limite
existe e é finito. Caso esse limite seja infinito ou não exista, dizemos que a integral diverge. Portanto nosso objetivo é calcular a integral indefinida, avaliar entre
e
e tomar o limite quando
.
Passo 3
Reescrever o integrando em potência para aplicar a regra de potência:
Regra de potência para primitiva (fórmula): para
,
Aqui
, que não é
, então podemos aplicar a fórmula. Explico rápido por que: a derivada de
é
(pela regra do poder), então é primitiva correta.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
:
portanto
Observação de notação:
, então também podemos escrever a primitiva como
.
Passo 5
Avaliar a integral definida
usando a primitiva:
Calcular
: primeiro
, então
. Assim
Passo 6
Tomar o limite quando
:
Como
quando
, o limite é
. Portanto a integral imprópria diverge (mais precisamente diverge para
).
Passo extra (teste rápido que vale decorar para prova): para integrandos do tipo
em
com
, a integral converge se e somente se
. Aqui o nosso expoente efetivo é
, então pela regra rápida já se conclui divergência sem calcular primitiva. Útil para checar rápido em prova.
Resposta
A integral diverge (tende a
).