Considere o seguinte polinômio racional para decomposição em frações parciais:
\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a fração racional
\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}
e pede a sua decomposição em frações parciais. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O denominador fatorou-se em dois fatores distintos: x-1 com multiplicidade 3 e x^{2}+x+1 com multiplicidade 2.
  • O numerador é o polinômio x^{5}+x+1.
  • A fração é própria (grau do numerador 5 é menor que grau do denominador 7), então não precisamos fazer divisão polinomial.
  • Precisamos encontrar constantes que satisfaçam a identidade polinomial obtida após a decomposição.

Passo 2

Pelo método padrão de frações parciais, para cada fator linear repetido (x-1)^{3} introduzimos termos \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}+\dfrac{C}{(x-1)^{3}}.
Para o fator quadrático irreducível repetido (x^{2}+x+1)^{2} introduzimos termos \dfrac{Dx+E}{x^{2}+x+1}+\dfrac{Fx+G}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
Assim assumimos a forma geral
\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{Dx+E}{x^{2}+x+1}+\frac{Fx+G}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
Expliquei: para um fator linear de multiplicidade m usamos todas as potências até m; para um quadrático irreducível de multiplicidade m usamos numeradores lineares para cada potência até m.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{3}(x^{2}+x+1)^{2} obtemos a identidade polinomial
x^{5}+x+1 = A(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)^{2} + B(x-1)(x^{2}+x+1)^{2} + C(x^{2}+x+1)^{2}
\qquad\qquad + (Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+x+1) + (Fx+G)(x-1)^{3}.
Esta igualdade vale para todo x. Podemos obter equações para A,B,C,D,E,F,G avaliando em pontos especiais e comparando coeficientes.

Passo 4

Avalio em x=1. Observando (x-1)=0 anula vários termos; também x^{2}+x+1 em x=1 vale 1+1+1=3. Então
1^{5}+1+1 = 3 = C\cdot(3)^{2}=9C.
Logo
C=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Bom: já temos C=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Para continuar, é conveniente expandir alguns produtos que aparecem muitas vezes. Defina Q(x)=x^{2}+x+1. Então
Q(x)^{2}=(x^{2}+x+1)^{2}=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1.
E
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,\qquad (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1.
Agora calculemos os produtos que aparecem na identidade:
  1. (x-1)^{2}Q^{2}=(x^{2}-2x+1)(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1). Multiplicando termo a termo (faça isso com calma na prova) obtemos uma simplificação bonita:
(x-1)^{2}Q^{2}=x^{6}-2x^{3}+1.
(Se quiser conferir: multiplicando x^{2}\cdot Q^{2}, -2x\cdot Q^{2} e 1\cdot Q^{2} e somando, os termos de graus intermediários cancelam.)
  1. (x-1)Q^{2}=(x-1)(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1)=x^{5}+x^{4}+x^{3}-x^{2}-x-1.
  2. Q^{2}=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1 (já computado).
  3. (x-1)^{3}Q=(x^{3}-3x^{2}+3x-1)(x^{2}+x+1). Fazendo a multiplicação:
(x-1)^{3}Q = x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1.
  1. (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1.
Agora substituímos cada produto na identidade multiplicada:
  • A(x-1)^{2}Q^{2} = A(x^{6}-2x^{3}+1).
  • B(x-1)Q^{2} = B(x^{5}+x^{4}+x^{3}-x^{2}-x-1).
  • C Q^{2} = C(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1).
  • (Dx+E)(x-1)^{3}Q = (Dx+E)(x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1).
  • (Fx+G)(x-1)^{3} = (Fx+G)(x^{3}-3x^{2}+3x-1).

Passo 6

Agora juntamos todos os termos polinomiais e comparamos coeficientes do polinômio do lado esquerdo x^{5}+x+1 com os coeficientes do lado direito. É método mecânico mas direto: some os coeficientes por grau. Primeiro note o coeficiente de x^{6} à direita vem só de A(x^{6}-2x^{3}+1) e de (Dx+E)\cdot termo em x^{6} (quando multiplicamos Dx\cdot x^{5}), dando a equação
\text{grau }6:\quad A + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D=-A.
Feito isso, comparando coeficientes de cada potência x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x^{1},x^{0} obtemos o sistema linear (mostro aqui as equações já simplificadas; elas vêm da soma dos termos que computamos):
\begin{aligned} &\text{(grau 5):}\quad B -2D + E = 1,\\\ &\text{(grau 4):}\quad B + C + D -2E + F = 0,\\\ &\text{(grau 3):}\quad -2A + B + 2C - D + E -3F + G = 0,\\\ &\text{(grau 2):}\quad -B + 3C + 2D - E + 3F -3G = 0,\\\ &\text{(grau 1):}\quad -B + 2C - D + 2E - F + 3G = 1,\\\ &\text{(grau 0):}\quad A - B + C - E - G = 1. \end{aligned}
Substituímos C=\dfrac{1}{3} (do Passo 4) e D=-A e simplificamos. Para resolver de forma organizada, da primeira equação (grau 6) já usamos D=-A. Da equação do grau 2 (após substituições) surge uma simplificação útil que reduz muito o trabalho: ao manipular o sistema chegamos a
F - G = 0 \quad\Rightarrow\quad F=G.
Continuando a eliminação (substituindo B a partir da equação do grau 5, eliminando F com G, e usando as equações restantes) chegamos, passo a passo, às soluções:
A=\frac{5}{9},\qquad B=0,\qquad C=\frac{1}{3},\qquad D=-\frac{5}{9},\qquad E=-\frac{1}{9},\qquad F=0,\qquad G=0.
Se quiser conferir uma equação qualquer, por exemplo a constante (grau 0): A-B+C-E-G = 5/9 -0 +1/3 -(-1/9) -0 = 5/9 +3/9 +1/9 =9/9=1, bate com a constante do lado esquerdo.

Passo 7

Substituindo os coeficientes encontrados na forma assumida, e cancelando os termos com coeficiente zero ( B=F=G=0), obtemos a decomposição final:
\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} =\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(x-1)^{3}}+\frac{-\tfrac{5}{9}x-\tfrac{1}{9}}{x^{2}+x+1}.
Podemos escrever o último termo de forma mais compacta como -\dfrac{5x+1}{9(x^{2}+x+1)}.

Resposta

\frac{x^{5}+x+1}{(x-1)^{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} =\frac{5}{9}\,\frac{1}{x-1}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{(x-1)^{3}}-\frac{5x+1}{9\,(x^{2}+x+1)}.

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