Considere o seguinte polinômio racional para decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado dá a fração racional
e pede a sua decomposição em frações parciais. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O denominador fatorou-se em dois fatores distintos:
com multiplicidade e com multiplicidade . - O numerador é o polinômio
. - A fração é própria (grau do numerador
é menor que grau do denominador ), então não precisamos fazer divisão polinomial. - Precisamos encontrar constantes que satisfaçam a identidade polinomial obtida após a decomposição.
Passo 2
Pelo método padrão de frações parciais, para cada fator linear repetido
introduzimos termos
.
Para o fator quadrático irreducível repetido introduzimos termos
.
Para o fator quadrático irreducível repetido
Assim assumimos a forma geral
Expliquei: para um fator linear de multiplicidade
usamos todas as potências até
; para um quadrático irreducível de multiplicidade
usamos numeradores lineares para cada potência até
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Esta igualdade vale para todo
. Podemos obter equações para
avaliando em pontos especiais e comparando coeficientes.
Passo 4
Avalio em
. Observando
anula vários termos; também
em
vale
. Então
Logo
Bom: já temos
.
Passo 5
Para continuar, é conveniente expandir alguns produtos que aparecem muitas vezes. Defina
. Então
E
Agora calculemos os produtos que aparecem na identidade:
-
. Multiplicando termo a termo (faça isso com calma na prova) obtemos uma simplificação bonita:
(Se quiser conferir: multiplicando
,
e
e somando, os termos de graus intermediários cancelam.)
-
-
(já computado). -
. Fazendo a multiplicação:
-
.
Agora substituímos cada produto na identidade multiplicada:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 6
Agora juntamos todos os termos polinomiais e comparamos coeficientes do polinômio do lado esquerdo
com os coeficientes do lado direito. É método mecânico mas direto: some os coeficientes por grau. Primeiro note o coeficiente de
à direita vem só de
e de
termo em
(quando multiplicamos
), dando a equação
Feito isso, comparando coeficientes de cada potência
obtemos o sistema linear (mostro aqui as equações já simplificadas; elas vêm da soma dos termos que computamos):
Substituímos
(do Passo 4) e
e simplificamos. Para resolver de forma organizada, da primeira equação (grau 6) já usamos
. Da equação do grau 2 (após substituições) surge uma simplificação útil que reduz muito o trabalho: ao manipular o sistema chegamos a
Continuando a eliminação (substituindo
a partir da equação do grau 5, eliminando
com
, e usando as equações restantes) chegamos, passo a passo, às soluções:
Se quiser conferir uma equação qualquer, por exemplo a constante (grau 0):
, bate com a constante do lado esquerdo.
Passo 7
Substituindo os coeficientes encontrados na forma assumida, e cancelando os termos com coeficiente zero (
), obtemos a decomposição final:
Podemos escrever o último termo de forma mais compacta como
.