Dado o ponto A(-2,4), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas y=3 x e y=-x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ . { }^{12}

Passo 1

O enunciado pede pontos P e Q tais que P esteja sobre a reta y=3x, Q sobre a reta y=-x e o ponto
A(-2,4)
seja o ponto médio do segmento PQ.
O conteúdo principal é geometria analítica: vamos usar a fórmula do ponto médio e as equações das retas para montar um sistema e resolver.

Passo 2

Sejam
P = (x_P,y_P) \quad\text{e}\quad Q = (x_Q,y_Q).
Pela fórmula do ponto médio, as coordenadas de A satisfazem
\frac{x_P + x_Q}{2} = -2, \qquad \frac{y_P + y_Q}{2} = 4.
Além disso, como P está em y=3x e Q em y=-x, temos
y_P = 3x_P, \qquad y_Q = -\,x_Q.

Passo 3

Substituindo y_P e y_Q nas equações do ponto médio, obtemos o sistema
\begin{cases} \displaystyle \frac{x_P + x_Q}{2} = -2,\\[6pt] \displaystyle \frac{3x_P - x_Q}{2} = 4. \end{cases}
Multiplicando cada equação por 2, fica
\begin{cases} x_P + x_Q = -4,\\[4pt] 3x_P - x_Q = 8. \end{cases}]

Passo 4

Somando as duas equações para eliminar x_Q:
(x_P + x_Q) + (3x_P - x_Q) = -4 + 8 \quad\Longrightarrow\quad 4x_P = 4 \quad\Longrightarrow\quad x_P = 1.
Então
x_Q = -4 - x_P = -4 - 1 = -5.
E daí
y_P = 3x_P = 3\cdot1 = 3, \qquad y_Q = -\,x_Q = -(-5) = 5.

Resposta

P = (1,3), \qquad Q = (-5,5).

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