Prove que as retas de equações 2 x+3 y-1=0, x+y=0 e 3 x+4 y-1=0 concorrem no mesmo ponto P. { }^{10}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as três retas L_1:2x+3y-1=0, L_2:x+y=0 e L_3:3x+4y-1=0
se encontram em um mesmo ponto P. Para isso, vamos resolver o sistema dado por duas delas e verificar que o ponto encontrado também satisfaz a equação da terceira reta.

Passo 2

Vamos intersectar L_1 e L_2. Escrevendo o sistema
2x+3y=1
x+y=0
da segunda equação segue
y=-x.
Substituindo em 2x+3y=1 obtemos
2x+3(-x)=1\quad\Longrightarrow\quad -x=1\quad\Longrightarrow\quad x=-1,
e então
y=-(-1)=1.
Logo, L_1 e L_2 se cruzam em P=(-1,1).

Passo 3

Para concluir, basta checar que P=(-1,1) satisfaz a equação de L_3:
3(-1)+4(1)-1=-3+4-1=0.
Como a igualdade vale, P está também em L_3.

Resposta

As três retas concorrem no mesmo ponto
P=(-1,1).

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