Dado um ponto P, fora de uma plano \alpha, como construir um plano paralelo a \alpha ? Descreva os passos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
Dado: um ponto P que não pertence a um plano \alpha.
Pedido: construir um plano paralelo a \alpha que passe por P.
Passo 2
Ideia básica da construção (visão geral, sem calcular nada ainda).
Em \alpha existem infinitas retas, mas posso escolher duas retas distintas r e s que se cruzem em um ponto (ou seja, não paralelas). Duas retas concorrentes determinam a direção do plano \alpha.
Se eu conseguir traçar por P uma reta r' paralela a r e uma reta s' paralela a s, e se r' e s' não forem paralelas entre si, então a reta r' e a reta s' determinam um plano \beta.
Esse plano \beta terá as mesmas direções de r e s, logo será paralelo a \alpha. Portanto o objetivo reduz-se a: (i) escolher duas retas concorrentes r,s\subset\alpha; (ii) traçar por P as paralelas r'\parallel r e s'\parallel s; (iii) tomar \beta como o plano gerado por r' e s'.
Passo 3
Escolher as duas retas dentro de \alpha.
Tome na superfície do plano \alpha dois pontos distintos A e B e um terceiro ponto C que não esteja colinear com A e B (ou seja, A,B,C\in\alpha e A,B,C não colineares).
Defina as retas r e s porr=\overline{AB},\qquad s=\overline{AC}.Estas retas pertencem a \alpha e são concorrentes em A, portanto não são paralelas. (Escolher retas concorrentes é importante porque duas direções não colineares determinam um plano.)
Passo 4
Construir, por P, uma reta r' paralela a r e outra reta s' paralela a s.
Lema prático (como fazer a reta paralela): dado um ponto P e uma reta t (a reta t está em \alpha), existe e é única a reta através de P paralela a t. Construtivamente, pensa-se em “transladar” a direção de t até P — geometricamente, marca-se dois pontos U,V em t e constrói-se o segmento em P que é congruente e com mesma direção (paralelogramo), obtendo assim uma reta em P paralela a t. Se estiver desenhando no papel, usa-se a construção usual de paralela em um plano projetado (ou usa-se régua e compasso para construir um paralelogramo).
Aplique isso duas vezes:
Construa r' tal que r' passa por P e r'\parallel r.
Construa s' tal que s' passa por P e s'\parallel s.
Certifique-se de que r' e s' não fiquem paralelas entre si. Como r e s não são paralelas, as suas paralelas r' e s' também não serão paralelas (paralelismo preserva não-colinearidade).
Passo 5
Definir o plano procurado e explicar por que ele é paralelo a \alpha.
Tome o plano \beta determinado pelas duas retas r' e s':\beta=\text{plano}(r',s').Dois ramos não paralelos determinam um plano único, então \beta existe e contém P.
Por que \beta\parallel\alpha? Explicação clara e intuitiva:
O plano \alpha contém as direções das retas r e s.
O plano \beta contém retas r' e s' que são, respectivamente, paralelas a r e a s. Assim \beta tem exatamente as mesmas direções (vetores de direção) que \alpha; são duas direções não colineares idênticas em ambos os planos.
Dois planos que têm as mesmas direções (ou seja, que são gerados por dois vetores diretores iguais) são paralelos (são deslocamentos um do outro sem rotação). Logo \beta é paralelo a \alpha.
Em termos elementares: se \beta cortasse \alpha haveria uma reta de interseção comum; essa reta de interseção teria que ter direção compatível com ambas as direções de \alpha e \beta, gerando contradição com as paralelas traçadas. Portanto não se intersectam.
Passo 6
Breve justificativa da unicidade (para a prova / para a prova oral na prova).
Existe exatamente um plano através de P paralelo a \alpha. Justificativa: \alpha tem duas direções independentes (por exemplo as direções de r e s). Através de P só há uma única reta com cada direção dada; assim só existe uma única escolha possível de duas retas não colineares em P com aquelas direções, e essas duas retas determinam um único plano. Logo o plano paralelo é único.
Passo 7
Resumo prático (como fazer, passo a passo curto para executar no desenho)
Escolher duas retas concorrentes r e s em \alpha (por exemplo r=\overline{AB}, s=\overline{AC} com A,B,C\in\alpha e não colineares).
Traçar por P a reta r' paralela a r.
Traçar por P a reta s' paralela a s.
O plano \beta determinado por r' e s' é o plano procurado: \beta\parallel\alpha.
Resposta
Escolher duas retas r,s\subset\alpha que se cruzem; traçar por P as paralelas r'\parallel r e s'\parallel s; o plano determinado por r' e s' é o plano através de P paralelo a \alpha.