Dado um ponto P, fora de uma plano \alpha, como construir um plano paralelo a \alpha ? Descreva os passos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dado: um ponto P que não pertence a um plano \alpha.
  • Pedido: construir um plano paralelo a \alpha que passe por P.

Passo 2

Ideia básica da construção (visão geral, sem calcular nada ainda).
  • Em \alpha existem infinitas retas, mas posso escolher duas retas distintas r e s que se cruzem em um ponto (ou seja, não paralelas). Duas retas concorrentes determinam a direção do plano \alpha.
  • Se eu conseguir traçar por P uma reta r' paralela a r e uma reta s' paralela a s, e se r' e s' não forem paralelas entre si, então a reta r' e a reta s' determinam um plano \beta.
  • Esse plano \beta terá as mesmas direções de r e s, logo será paralelo a \alpha. Portanto o objetivo reduz-se a: (i) escolher duas retas concorrentes r,s\subset\alpha; (ii) traçar por P as paralelas r'\parallel r e s'\parallel s; (iii) tomar \beta como o plano gerado por r' e s'.

Passo 3

Escolher as duas retas dentro de \alpha.
  • Tome na superfície do plano \alpha dois pontos distintos A e B e um terceiro ponto C que não esteja colinear com A e B (ou seja, A,B,C\in\alpha e A,B,C não colineares).
  • Defina as retas r e s por r=\overline{AB},\qquad s=\overline{AC}.Estas retas pertencem a \alpha e são concorrentes em A, portanto não são paralelas. (Escolher retas concorrentes é importante porque duas direções não colineares determinam um plano.)

Passo 4

Construir, por P, uma reta r' paralela a r e outra reta s' paralela a s.
  • Lema prático (como fazer a reta paralela): dado um ponto P e uma reta t (a reta t está em \alpha), existe e é única a reta através de P paralela a t. Construtivamente, pensa-se em “transladar” a direção de t até P — geometricamente, marca-se dois pontos U,V em t e constrói-se o segmento em P que é congruente e com mesma direção (paralelogramo), obtendo assim uma reta em P paralela a t. Se estiver desenhando no papel, usa-se a construção usual de paralela em um plano projetado (ou usa-se régua e compasso para construir um paralelogramo).
  • Aplique isso duas vezes:
    • Construa r' tal que r' passa por P e r'\parallel r.
    • Construa s' tal que s' passa por P e s'\parallel s.
  • Certifique-se de que r' e s' não fiquem paralelas entre si. Como r e s não são paralelas, as suas paralelas r' e s' também não serão paralelas (paralelismo preserva não-colinearidade).

Passo 5

Definir o plano procurado e explicar por que ele é paralelo a \alpha.
  • Tome o plano \beta determinado pelas duas retas r' e s': \beta=\text{plano}(r',s').Dois ramos não paralelos determinam um plano único, então \beta existe e contém P.
  • Por que \beta\parallel\alpha? Explicação clara e intuitiva:
    • O plano \alpha contém as direções das retas r e s.
    • O plano \beta contém retas r' e s' que são, respectivamente, paralelas a r e a s. Assim \beta tem exatamente as mesmas direções (vetores de direção) que \alpha; são duas direções não colineares idênticas em ambos os planos.
    • Dois planos que têm as mesmas direções (ou seja, que são gerados por dois vetores diretores iguais) são paralelos (são deslocamentos um do outro sem rotação). Logo \beta é paralelo a \alpha.
    • Em termos elementares: se \beta cortasse \alpha haveria uma reta de interseção comum; essa reta de interseção teria que ter direção compatível com ambas as direções de \alpha e \beta, gerando contradição com as paralelas traçadas. Portanto não se intersectam.

Passo 6

Breve justificativa da unicidade (para a prova / para a prova oral na prova).
  • Existe exatamente um plano através de P paralelo a \alpha. Justificativa: \alpha tem duas direções independentes (por exemplo as direções de r e s). Através de P só há uma única reta com cada direção dada; assim só existe uma única escolha possível de duas retas não colineares em P com aquelas direções, e essas duas retas determinam um único plano. Logo o plano paralelo é único.

Passo 7

Resumo prático (como fazer, passo a passo curto para executar no desenho)
  1. Escolher duas retas concorrentes r e s em \alpha (por exemplo r=\overline{AB}, s=\overline{AC} com A,B,C\in\alpha e não colineares).
  2. Traçar por P a reta r' paralela a r.
  3. Traçar por P a reta s' paralela a s.
  4. O plano \beta determinado por r' e s' é o plano procurado: \beta\parallel\alpha.

Resposta

Escolher duas retas r,s\subset\alpha que se cruzem; traçar por P as paralelas r'\parallel r e s'\parallel s; o plano determinado por r' e s' é o plano através de P paralelo a \alpha.

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