Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma encontra a outra.
(b) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas.
(c) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
(d) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) quatro afirmações sobre duas retas reversas dadas. Vou chamar as retas reversas de \ell_1 e \ell_2. As quatro afirmações a serem avaliadas são:
(a) “Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma encontra a outra.”
(b) “Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas.”
(c) “Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.”
(d) “Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.”
Não vou resolver nada ainda neste passo — apenas deixei claro o que se pede e quais são as frases a classificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar bem o que significa “retas reversas” (explicando passo a passo, sem pressupor que já sabe). Duas retas são ditas reversas (ou “skew”, em inglês) quando:
  • elas não se intersectam (não têm ponto em comum) e
  • não são paralelas no mesmo plano (isto é, não pertencem a um mesmo plano).
Consequências básicas que usarei depois:
  • Não existe nenhum plano que contenha simultaneamente \ell_1 e \ell_2.
  • Existem muitas retas que intersectam ambas as retas (basta escolher um ponto em \ell_1 e um ponto em \ell_2 e traçar a reta que passa por esses dois pontos). Essas retas são chamadas de transversais.
  • Existe, em geral, uma reta especial perpendicular a ambas (a perpendicular comum), mas isso é só um detalhe extra — o que importa é que ter retas que intersectam ambas é possível.
Agora vamos analisar cada afirmação com exemplos e argumentos claros.

Passo 3

A afirmação (a) diz: “qualquer reta que encontra uma encontra a outra”. Interpretando “encontra” como “intersecta” (isto é, tem ponto em comum).
Contraexemplo simples (mostra que a afirmação é falsa):
Defina
\ell_1=\{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\} \qquad\text{e}\qquad \ell_2=\{(0,1,1)+s(0,1,0)=(0,1+s,1)\mid s\in\mathbb{R}\}.
Essas duas retas são reversas: não se intersectam e não são paralelas nem coplanares.
Considere a reta
m=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},
a reta m (eixo z) intersecta \ell_1 no ponto (0,0,0) (pois esse ponto está em \ell_1). Mas m não intersecta \ell_2: todos os pontos de \ell_2 têm coordenada y=1+s (ou seja, y\neq0 para o ponto em que s\neq-1), e mais importante, nenhum ponto de \ell_2 tem as coordenadas (0,0,z) (os pontos de \ell_2 têm y=1+s e z=1). Logo m encontra \ell_1 mas não encontra \ell_2.
Portanto a afirmação (a) é falsa.

Passo 4

A afirmação (b) diz: “sempre existe reta que se apoie em ambas.” Interpreto aqui “se apoie em” como “intersecte ambas” (uma expressão comum para “toque/atinga ambas”). Vou mostrar que existe pelo menos uma reta que intersecta as duas retas reversas — na verdade existem muitas.
Construção direta e explicação didática:
  • Escolha um ponto A em \ell_1 e um ponto B em \ell_2.
  • A reta que passa por A e B (a reta determinada por dois pontos distintos) intersecta \ell_1 em A e intersecta \ell_2 em B. Portanto é uma reta que intersecta ambas.
Como A e B podiam ser escolhidos de infinitas maneiras (qualquer ponto de \ell_1 e qualquer ponto de \ell_2), há infinitas retas que intersectam as duas retas reversas. Uma dessas retas pode ser a perpendicular comum (quando ela existe), outras são transversais oblíquas.
Logo a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 5

A afirmação (c) diz: “qualquer plano que passa por uma encontra a outra.” Ou seja, para todo plano que contém \ell_1, esse plano teria de intersectar \ell_2.
Isto é falso: existem planos que contêm \ell_1 e que não intersectam \ell_2.
Contraexemplo (usando as mesmas retas do Passo 3):
Tome
\ell_1=\{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}, \qquad \ell_2=\{(0,1+s,1)\mid s\in\mathbb{R}\}.
Considere o plano \Pi dado por z=0. Esse plano contém \ell_1 (pois todos os pontos de \ell_1 têm z=0). Mas \ell_2 tem sempre z=1 (os pontos de \ell_2 têm terceira coordenada 1), logo \ell_2 não intersecta o plano z=0. Assim \Pi passa por \ell_1 e não encontra \ell_2.
portanto a afirmação (c) é falsa.
(Comentário didático curto: a razão é que ser reta reversa significa exatamente que não existe plano comum que contenha as duas; mas isso não implica que todo plano que contém uma delas tenha de cortar a outra — muitos desses planos podem ser paralelos à outra reta.)

Passo 6

A afirmação (d) diz: “Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.” Ou seja, para qualquer ponto P do espaço existe uma reta que passa por P e que intersecta simultaneamente \ell_1 e \ell_2.
Isto é falso: não para todo ponto P existe tal reta. Vou dar um contraexemplo concreto (continuação das retas anteriores) e resolver por contas simples.
Use novamente
\ell_1=\{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}, \qquad \ell_2=\{(0,1+s,1)\mid s\in\mathbb{R}\}.
Escolha o ponto
P=(0,2,0).
Suponha que exista uma reta que passa por P e intersecta \ell_1 em algum A=(a,0,0) e intersecta \ell_2 em algum B=(0,1+s,1). A condição de colinearidade (que P esteja na reta determinada por A e B) pode ser escrita parametrizando a reta AB:
A+u(B-A)=(a,0,0)+u\bigl((-a,\,1+s,\,1)\bigr)=(a(1-u),\,u(1+s),\,u)
para algum u\in\mathbb{R}. Igualando a isso P=(0,2,0) obtemos o sistema
a(1-u)=0,\qquad u(1+s)=2,\qquad u=0.
Da última equação vem u=0. Substituindo em u(1+s)=2 0=2, contradição. Portanto não existe a,s,u que satisfaçam as três equações simultaneamente, ou seja, não existe reta passando por P que intersecte simultaneamente \ell_1 e \ell_2.
Assim, conclui-se que nem por todo ponto do espaço é possível traçar uma reta que encontre as duas retas reversas: a afirmação (d) é falsa.
(Dica geométrica: as retas que intersectam ambas \ell_1 e \ell_2 formam um conjunto de direções que não “cobrem” todo o espaço; pontos situados em certas regiões não ficam em nenhuma dessas retas.)

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) F

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