Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma encontra a outra.
(b) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas.
(c) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
(d) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.
(a) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma encontra a outra.
(b) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas.
(c) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
(d) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) quatro afirmações sobre duas retas reversas dadas. Vou chamar as retas reversas de
e
. As quatro afirmações a serem avaliadas são:
(a) “Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma encontra a outra.”
(b) “Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas.”
(c) “Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.”
(d) “Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.”
(b) “Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apoie em ambas.”
(c) “Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.”
(d) “Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.”
Não vou resolver nada ainda neste passo — apenas deixei claro o que se pede e quais são as frases a classificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar bem o que significa “retas reversas” (explicando passo a passo, sem pressupor que já sabe). Duas retas são ditas reversas (ou “skew”, em inglês) quando:
- elas não se intersectam (não têm ponto em comum) e
- não são paralelas no mesmo plano (isto é, não pertencem a um mesmo plano).
Consequências básicas que usarei depois:
- Não existe nenhum plano que contenha simultaneamente
e . - Existem muitas retas que intersectam ambas as retas (basta escolher um ponto em
e um ponto em e traçar a reta que passa por esses dois pontos). Essas retas são chamadas de transversais. - Existe, em geral, uma reta especial perpendicular a ambas (a perpendicular comum), mas isso é só um detalhe extra — o que importa é que ter retas que intersectam ambas é possível.
Agora vamos analisar cada afirmação com exemplos e argumentos claros.
Passo 3
A afirmação (a) diz: “qualquer reta que encontra uma encontra a outra”. Interpretando “encontra” como “intersecta” (isto é, tem ponto em comum).
Contraexemplo simples (mostra que a afirmação é falsa):
Defina
Defina
Essas duas retas são reversas: não se intersectam e não são paralelas nem coplanares.
Considere a reta
a reta
(eixo
) intersecta
no ponto
(pois esse ponto está em
). Mas
não intersecta
: todos os pontos de
têm coordenada
(ou seja,
para o ponto em que
), e mais importante, nenhum ponto de
tem as coordenadas
(os pontos de
têm
e
). Logo
encontra
mas não encontra
.
Portanto a afirmação (a) é falsa.
Passo 4
A afirmação (b) diz: “sempre existe reta que se apoie em ambas.” Interpreto aqui “se apoie em” como “intersecte ambas” (uma expressão comum para “toque/atinga ambas”). Vou mostrar que existe pelo menos uma reta que intersecta as duas retas reversas — na verdade existem muitas.
Construção direta e explicação didática:
- Escolha um ponto
em e um ponto em . - A reta que passa por
e (a reta determinada por dois pontos distintos) intersecta em e intersecta em . Portanto é uma reta que intersecta ambas.
Como
e
podiam ser escolhidos de infinitas maneiras (qualquer ponto de
e qualquer ponto de
), há infinitas retas que intersectam as duas retas reversas. Uma dessas retas pode ser a perpendicular comum (quando ela existe), outras são transversais oblíquas.
Logo a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 5
A afirmação (c) diz: “qualquer plano que passa por uma encontra a outra.” Ou seja, para todo plano que contém
, esse plano teria de intersectar
.
Isto é falso: existem planos que contêm
e que não intersectam
.
Contraexemplo (usando as mesmas retas do Passo 3):
Tome
Tome
Considere o plano
dado por
. Esse plano contém
(pois todos os pontos de
têm
). Mas
tem sempre
(os pontos de
têm terceira coordenada
), logo
não intersecta o plano
. Assim
passa por
e não encontra
.
portanto a afirmação (c) é falsa.
(Comentário didático curto: a razão é que ser reta reversa significa exatamente que não existe plano comum que contenha as duas; mas isso não implica que todo plano que contém uma delas tenha de cortar a outra — muitos desses planos podem ser paralelos à outra reta.)
Passo 6
A afirmação (d) diz: “Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.” Ou seja, para qualquer ponto
do espaço existe uma reta que passa por
e que intersecta simultaneamente
e
.
Isto é falso: não para todo ponto
existe tal reta. Vou dar um contraexemplo concreto (continuação das retas anteriores) e resolver por contas simples.
Use novamente
Escolha o ponto
Suponha que exista uma reta que passa por
e intersecta
em algum
e intersecta
em algum
. A condição de colinearidade (que
esteja na reta determinada por
e
) pode ser escrita parametrizando a reta
:
para algum
. Igualando a isso
obtemos o sistema
Da última equação vem
. Substituindo em
dá
, contradição. Portanto não existe
que satisfaçam as três equações simultaneamente, ou seja, não existe reta passando por
que intersecte simultaneamente
e
.
Assim, conclui-se que nem por todo ponto do espaço é possível traçar uma reta que encontre as duas retas reversas: a afirmação (d) é falsa.
(Dica geométrica: as retas que intersectam ambas
e
formam um conjunto de direções que não “cobrem” todo o espaço; pontos situados em certas regiões não ficam em nenhuma dessas retas.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)