Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um deles é paralela ao outro?
Passo 1
O enunciado pergunta claramente: “Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um deles é paralela ao outro?”
Informações dadas (explicitando o que o enunciado fornece):
Informações dadas (explicitando o que o enunciado fornece):
- Dois planos distintos, denotados por
e . - Esses planos são paralelos (isto é, não se intersectam).
- A pergunta é sobre qualquer reta
contida em : será que é paralela ao plano ?
Passo 2
Vamos fixar definições básicas, porque elas vão orientar a resposta e evitam confusões:
- Dois planos são paralelos significa que eles não têm pontos em comum; escrevemos isso como
. - Dada uma reta
e um plano , as possibilidades de interseção são: (reta e plano não se intersectam), (interseção em um ponto), ou (a reta está contida no plano). Por definição usual, dizemos que uma reta é paralela a um plano quando (ou seja, não se intersectam). Note: se então a reta está no plano, não é “paralela” no sentido de não-interseção.
Passo 3
Agora o argumento lógico. Seja
uma reta qualquer com
(ou seja, uma reta de
). Suponha, por contradição, que
não seja paralela a
. Então existem apenas duas alternativas (pelas possibilidades da interseção reta–plano):
- ou
é um ponto (a reta corta o plano ); - ou
(a reta está contida em ).
Passo 4
Mostramos que ambas as alternativas levam a contradição com o fato de
e
serem paralelos.
- Se
contém um ponto , então e . Logo , portanto . Isso contradiz a hipótese de que e são paralelos. - Se
, então existe pelo menos uma reta comum a e , logo contém essa reta e não é vazio — de novo contradição com . (Além disso, dois planos distintos que contêm a mesma reta não são paralelos: intersectam ao longo dessa reta.)
Passo 5
Como as duas possibilidades de
não serem paralelas a
geram contradição, a única possibilidade consistente é
Pelo que definimos, isso significa que
é paralela ao plano
.
Passo 6
Um exemplo concreto para intuir: considere os planos
e
em
. Qualquer reta contida em
tem coordenada
igual a
para todos os seus pontos, portanto não pode atingir
; assim não intersecta
e é paralela a
. Isso confirma a ideia geral.
Resposta
Sim. Se
e
são planos distintos e paralelos, então toda reta
contida em
é paralela ao plano
.