Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um deles é paralela ao outro?

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um deles é paralela ao outro?”
Informações dadas (explicitando o que o enunciado fornece):
  • Dois planos distintos, denotados por P e Q.
  • Esses planos são paralelos (isto é, não se intersectam).
  • A pergunta é sobre qualquer reta \ell contida em P: será que \ell é paralela ao plano Q?

Passo 2

Vamos fixar definições básicas, porque elas vão orientar a resposta e evitam confusões:
  • Dois planos são paralelos significa que eles não têm pontos em comum; escrevemos isso como P\cap Q=\varnothing.
  • Dada uma reta \ell e um plano Q, as possibilidades de interseção são: \ell\cap Q=\varnothing (reta e plano não se intersectam), \ell\cap Q=\{\,\text{um ponto}\,\} (interseção em um ponto), ou \ell\subset Q (a reta está contida no plano). Por definição usual, dizemos que uma reta \ell é paralela a um plano Q quando \ell\cap Q=\varnothing (ou seja, não se intersectam). Note: se \ell\subset Q então a reta está no plano, não é “paralela” no sentido de não-interseção.

Passo 3

Agora o argumento lógico. Seja \ell uma reta qualquer com \ell\subset P (ou seja, uma reta de P). Suponha, por contradição, que \ell não seja paralela a Q. Então existem apenas duas alternativas (pelas possibilidades da interseção reta–plano):
  • ou \ell\cap Q é um ponto (a reta corta o plano Q);
  • ou \ell\subset Q (a reta está contida em Q).

Passo 4

Mostramos que ambas as alternativas levam a contradição com o fato de P e Q serem paralelos.
  • Se \ell\cap Q contém um ponto X, então X\in \ell\subset P e X\in Q. Logo X\in P\cap Q, portanto P\cap Q\neq\varnothing. Isso contradiz a hipótese de que P e Q são paralelos.
  • Se \ell\subset Q, então existe pelo menos uma reta comum a P e Q, logo P\cap Q contém essa reta e não é vazio — de novo contradição com P\cap Q=\varnothing. (Além disso, dois planos distintos que contêm a mesma reta não são paralelos: intersectam ao longo dessa reta.)

Passo 5

Como as duas possibilidades de \ell não serem paralelas a Q geram contradição, a única possibilidade consistente é
\ell\cap Q=\varnothing.
Pelo que definimos, isso significa que \ell é paralela ao plano Q.

Passo 6

Um exemplo concreto para intuir: considere os planos \,P:\\ z=0 e \,Q:\\ z=1 em \mathbb{R}^3. Qualquer reta contida em P tem coordenada z igual a 0 para todos os seus pontos, portanto não pode atingir z=1; assim não intersecta Q e é paralela a Q. Isso confirma a ideia geral.

Resposta

Sim. Se P e Q são planos distintos e paralelos, então toda reta \ell contida em P é paralela ao plano Q.

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