Dado o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 5 y' + 6 y = 12 e^(2 x) + 30 e^(-x), y(0) = 0 e y'(0) = 2
Obtenha a sua solução, usando o método da variação de parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes características da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea:
Usando o método da variação de parâmetros, procuramos uma solução da forma:
Onde e são funções que vamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Mas para simplificar, assumimos que:
Isso facilita os cálculos.

Passo 5

Substituindo , e na equação original, temos:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para e . Resolvendo esse sistema, encontramos:
ã
ã

Passo 6

Integrando e , obtemos e . Então, a solução particular fica:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar as constantes e . Substituindo na solução geral e na derivada, resolvemos o sistema de equações para e .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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