Dado o problema de valor inicial (PVI)
Obtenha a sua solução, usando o método da variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes características da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a parte não homogênea:
Usando o método da variação de parâmetros, procuramos uma solução da forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, assumimos que:
Isso facilita os cálculos.
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original, temos:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para
e
. Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 6
Integrando
e
, obtemos
e
. Então, a solução particular fica:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar as constantes
e
. Substituindo
na solução geral e na derivada, resolvemos o sistema de equações para
e
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.