Escreva a definição de curva de nível de uma função real f de duas variáveis reais. Explique a relação entre uma curva de nível de f e o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é uma curva de nível de uma função real que depende de duas variáveis reais. Além disso, temos que explicar como essa curva se relaciona com o gráfico da função . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções de várias variáveis, curvas de nível e como elas representam o comportamento da função no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de duas variáveis. É uma função que depende de duas entradas, digamos e , e produz um valor . Então, temos . O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos no plano onde a função assume um valor constante, digamos . Matematicamente, isso é representado por:
Essa equação define uma curva no plano onde todas as combinações de e dão o mesmo valor para a função .

Passo 4

Para entender a relação entre a curva de nível e o gráfico da função, imagine que você tem o gráfico de como uma montanha. Cada curva de nível corresponde a uma “linha de altitude” nessa montanha. O valor indica a altura dessa linha. Portanto, as curvas de nível nos ajudam a visualizar como a função varia no espaço, mostrando onde ela mantém o mesmo valor.

Passo 5

Além disso, as curvas de nível podem nos dar informações sobre o comportamento da função, como onde ela tem picos, vales ou áreas planas. No gráfico tridimensional, essas curvas são projeções das “fatias” horizontais da superfície para diferentes valores de .

Resposta

Uma curva de nível de uma função real de duas variáveis reais é o conjunto de pontos no plano onde a função assume um valor constante , isto é, . A relação entre uma curva de nível de e o gráfico de é que cada curva de nível representa uma “linha de altitude” no gráfico tridimensional de , facilitando a visualização de como a função varia no espaço.

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