Escreva a definição de curva de nível de uma função real
de duas variáveis reais. Explique a relação entre uma curva de nível de
e o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é uma curva de nível de uma função real
que depende de duas variáveis reais. Além disso, temos que explicar como essa curva se relaciona com o gráfico da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções de várias variáveis, curvas de nível e como elas representam o comportamento da função no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de duas variáveis. É uma função que depende de duas entradas, digamos
e
, e produz um valor
. Então, temos
. O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
no plano onde a função
assume um valor constante, digamos
. Matematicamente, isso é representado por:
Essa equação define uma curva no plano
onde todas as combinações de
e
dão o mesmo valor
para a função
.
Passo 4
Para entender a relação entre a curva de nível e o gráfico da função, imagine que você tem o gráfico de
como uma montanha. Cada curva de nível corresponde a uma “linha de altitude” nessa montanha. O valor
indica a altura dessa linha. Portanto, as curvas de nível nos ajudam a visualizar como a função
varia no espaço, mostrando onde ela mantém o mesmo valor.
Passo 5
Além disso, as curvas de nível podem nos dar informações sobre o comportamento da função, como onde ela tem picos, vales ou áreas planas. No gráfico tridimensional, essas curvas são projeções das “fatias” horizontais da superfície
para diferentes valores de
.
Resposta
Uma curva de nível de uma função real
de duas variáveis reais é o conjunto de pontos
no plano onde a função assume um valor constante
, isto é,
. A relação entre uma curva de nível de
e o gráfico de
é que cada curva de nível representa uma “linha de altitude” no gráfico tridimensional de
, facilitando a visualização de como a função varia no espaço.