Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial (PVI)
certamente possui solução (e a mesma é única).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é determinar o maior intervalo de
onde essa equação tem uma solução única. Para isso, precisamos utilizar conceitos de teoria de equações diferenciais que garantem a existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Vamos lembrar que, para garantir a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, algumas condições devem ser satisfeitas. A forma geral dessa equação é:
As condições necessárias são:
- As funções
, , e devem ser contínuas no intervalo considerado. -
não pode ser zero nesse intervalo.
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Vamos verificar onde essas funções são contínuas:
-
é contínua para todos os reais. -
é contínua para todos os reais. -
é constante e, portanto, contínua para todos os reais. -
é contínua para todos os reais.
Passo 4
Agora, verificamos onde
não é zero, já que isso também é uma condição para a existência e unicidade da solução:
Ou seja,
é diferente de zero para todo
exceto
.
Passo 5
Considerando que nosso problema de valor inicial está dado em
, que está no intervalo
, e que todas as funções são contínuas e
nesse intervalo, podemos concluir que o maior intervalo onde a solução existe e é única é onde todas as condições acima são satisfeitas.
Resposta
O maior intervalo onde o PVI possui solução única é
.