Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial (PVI)
x^2 y'' + x y' + y = 12 x, y(1) = 1, y'(1) = 0
certamente possui solução (e a mesma é única).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é determinar o maior intervalo de onde essa equação tem uma solução única. Para isso, precisamos utilizar conceitos de teoria de equações diferenciais que garantem a existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Vamos lembrar que, para garantir a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial de segunda ordem, algumas condições devem ser satisfeitas. A forma geral dessa equação é:
As condições necessárias são:
  1. As funções , , e devem ser contínuas no intervalo considerado.
  2. não pode ser zero nesse intervalo.
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

Vamos verificar onde essas funções são contínuas:
  • é contínua para todos os reais.
  • é contínua para todos os reais.
  • é constante e, portanto, contínua para todos os reais.
  • é contínua para todos os reais.

Passo 4

Agora, verificamos onde não é zero, já que isso também é uma condição para a existência e unicidade da solução:
Ou seja, é diferente de zero para todo exceto .

Passo 5

Considerando que nosso problema de valor inicial está dado em , que está no intervalo , e que todas as funções são contínuas e nesse intervalo, podemos concluir que o maior intervalo onde a solução existe e é única é onde todas as condições acima são satisfeitas.

Resposta

O maior intervalo onde o PVI possui solução única é .

Exercícios relacionados