Dado o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+y}{3+3 y^{2}-x}, \quad y(1)=1
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(x) y=g(x)
(b) Determine a solução do PVI. R: x^{2}+x y-3 y-y^{3}=-2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{3+3y^{2}-x},\quad y(1)=1,
pede (a) classificação quanto à ordem e linearidade e (b) a sua solução. Vamos usar teoria de classificação de EDOs e, para resolver, reconheceremos uma equação exata.

Passo 2

A equação envolve apenas dy/dx, logo é de ordem 1. Para testar a linearidade, tentamos escrevê-la como
y'+f(x)\,y=g(x).
Aqui
y'=\frac{2x+y}{3+3y^2-x},
não se coloca no formato acima por haver y^2 no denominador. Assim, é uma EDO de primeira ordem e não é linear.

Passo 3

Reescrevemos o problema na forma diferencial
(3+3y^2-x)\,dy-(2x+y)\,dx=0.
Identificamos
M(x,y)=-(2x+y), \quad N(x,y)=3+3y^2-x,
de modo que a equação fica M\,dx+N\,dy=0.

Passo 4

Verificamos a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x-y\bigr)=-1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3+3y^2-x\bigr)=-1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x=M,\quad \phi_y=N.
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y)=\int -(2x+y)\,dx=-x^2-xy+h(y).
Derivando em y e igualando a N:
\phi_y=-x+h'(y)=3+3y^2-x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=3+3y^2.
Integramos h'(y):
h(y)=3y+y^3+C.
Logo
\varphi(x,y)=-x^2-xy+3y+y^3=C_1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+xy-3y-y^3=K.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=1:
1^2+1\cdot1-3\cdot1-1^3=1+1-3-1=-2,
logo K=-2. A solução implícita do PVI é
x^2+xy-3y-y^3=-2.

Resposta

(a) Ordem 1, não linear.
(b) Solução implícita:
x^2+xy-3y-y^3=-2.

Exercícios relacionados