Dado o problema de valor inicial
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma
(b) Determine a solução do PVI. R:
(b) Determine a solução do PVI. R:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
pede (a) classificação quanto à ordem e linearidade e (b) a sua solução. Vamos usar teoria de classificação de EDOs e, para resolver, reconheceremos uma equação exata.
Passo 2
A equação envolve apenas
, logo é de ordem
. Para testar a linearidade, tentamos escrevê-la como
Aqui
não se coloca no formato acima por haver
no denominador. Assim, é uma EDO de primeira ordem e não é linear.
Passo 3
Reescrevemos o problema na forma diferencial
Identificamos
de modo que a equação fica
.
Passo 4
Verificamos a exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
:
Integramos
:
Logo
Passo 6
Usamos a condição inicial
:
logo
. A solução implícita do PVI é
Resposta
(a) Ordem
, não linear.
(b) Solução implícita:
(b) Solução implícita: