O conteúdo é Existência e Unicidade de soluções de EDOs (teoremas de Peano e Picard–Lindelöf). Para decidir se existe e se é única, vamos precisar ver duas coisas:
se é contínua na região em volta de (para existência via Peano);
se satisfaz uma condição de Lipschitz em perto de (para unicidade via Picard).
Passo 2
(Verificação de existência – Teorema de Peano)
O teorema de Peano diz: se é contínua numa vizinhança do ponto inicial , então existe pelo menos uma solução local.
Aqui . Note que:
é contínuo sempre;
é contínuo para .
Nosso ponto inicial é . Mesmo que só faça sentido para , podemos restringir a região para ,
onde é bem definida e contínua. Logo, por Peano, existe pelo menos uma solução do PVI passando por .
Passo 3
(Verificação de unicidade – Teorema de Picard–Lindelöf)
O teorema de Picard diz: se é contínua e Lipschitz em numa caixa em torno de , então a solução é única.
Para checar Lipschitz em , normalmente calculamos e vemos se ela é limitada:
Mas explode quando . Ou seja, não existe uma constante tal que
para todo perto de zero — essa raiz é só “-Hölder”, não Lipschitz.
Sem condição de Lipschitz em , não podemos garantir unicidade pelo teorema de Picard.
Resposta
O PVI admite pelo menos uma solução (teorema de Peano), mas não satisfaz a condição de Lipschitz em perto de . Portanto, não há garantia de solução única.