Dado a região R=(x, y) in R^2:-1 e o PVI
  • PVI admite a existência de solução única?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a região
R=(x,y)inR^2:-1
e o PVI
dfracdydx=x+raizy, y(0)=0
O conteúdo é Existência e Unicidade de soluções de EDOs (teoremas de Peano e Picard–Lindelöf). Para decidir se existe e se é única, vamos precisar ver duas coisas:
  1. se é contínua na região em volta de (para existência via Peano);
  2. se satisfaz uma condição de Lipschitz em perto de (para unicidade via Picard).

Passo 2

(Verificação de existência – Teorema de Peano)
O teorema de Peano diz: se é contínua numa vizinhança do ponto inicial , então existe pelo menos uma solução local.
Aqui . Note que:
  • é contínuo sempre;
  • é contínuo para .
Nosso ponto inicial é . Mesmo que só faça sentido para , podemos restringir a região para
,
onde é bem definida e contínua. Logo, por Peano, existe pelo menos uma solução do PVI passando por .

Passo 3

(Verificação de unicidade – Teorema de Picard–Lindelöf)
O teorema de Picard diz: se partial fpartial y(x,y) =ddyl(x+raizyr) =12raizy é contínua e Lipschitz em l|raizy1-raizy2r|<= L,|y1-y2| numa caixa em torno de , então a solução é única.
Para checar Lipschitz em , normalmente calculamos e vemos se ela é limitada:
Mas explode quando . Ou seja, não existe uma constante tal que
para todo perto de zero — essa raiz é só “ -Hölder”, não Lipschitz.
Sem condição de Lipschitz em , não podemos garantir unicidade pelo teorema de Picard.

Resposta

O PVI admite pelo menos uma solução (teorema de Peano), mas não satisfaz a condição de Lipschitz em perto de . Portanto, não há garantia de solução única.

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