Resolva a EDO homogênea
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem que resolver esta EDO homogênea de primeira ordem:
Conteúdo: EDO linear de 1ª ordem homogênea.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Colocar na forma padrão
. - Usar separação de variáveis (
). - Integrar, possivelmente com substituição.
Passo 2
Primeiro a gente isola a derivada:
Agora faz separação de variáveis, ou seja, ponho tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro:
Isso significa que eu posso integrar os dois lados:
Passo 3
Vamos calcular a integral do lado direito. Note que
é um “bloco” que, derivado em relação a
, dá exatamente
. Então eu faço a substituição
Assim
[
\int \frac{x}{1+\tfrac{x^{2}}{2}},dx
\int \frac{du}{u}
\ln\bigl|u\bigr| + C_1
\ln\Bigl(1+\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr) + C_1.
]
]
Do lado esquerdo fica
.
Juntando as duas integrais:
Juntando as duas integrais:
onde
.
Passo 4
Agora é só desfazer o logaritmo:
Chamo
, constante arbitrária, e tiro o valor absoluto: