Resolva a EDO homogênea
d yd x-x(1+x^22) y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem que resolver esta EDO homogênea de primeira ordem:
dydx-xl(1+tfracx^22r),y=0
Conteúdo: EDO linear de 1ª ordem homogênea.
O que vamos precisar:
  1. Colocar na forma padrão .
  2. Usar separação de variáveis ( ).
  3. Integrar, possivelmente com substituição.

Passo 2

Primeiro a gente isola a derivada:
dydx=x1+tfracx^22,y
Agora faz separação de variáveis, ou seja, ponho tudo que envolve 1y,dy=x1+tfracx^22,dx de um lado e tudo que envolve integral1y,dy ;=;integralx1+tfracx^22,dx do outro:
Isso significa que eu posso integrar os dois lados:

Passo 3

Vamos calcular a integral do lado direito. Note que
1+tfracx^22
é um “bloco” que, derivado em relação a u = 1 + tfracx^22 Longrightarrow du = x,dx , dá exatamente integral x1+tfracx^22,dx = integral duu = lnl|ur| + C1 = lnl(1+tfracx^22r) + C1 . Então eu faço a substituição
ln|y| = ln!l(1+tfracx^22r) + C,
Assim
[
\int \frac{x}{1+\tfrac{x^{2}}{2}},dx

\int \frac{du}{u}

\ln\bigl|u\bigr| + C_1

\ln\Bigl(1+\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr) + C_1.
]
Do lado esquerdo fica .
Juntando as duas integrais:
onde .

Passo 4

Agora é só desfazer o logaritmo:
|y| = e^ln(1+tfracx^22) + C = e^C ,l(1+tfracx^22r)
Chamo y = A;l(1+tfracx^22r) , constante arbitrária, e tiro o valor absoluto:

Resposta

boxedy(x) = C;l(1 + tfracx^22r), C constante real

Exercícios relacionados