1. Dado s>0, calcule \int_{1}^{+\infty} e^{-s t} \cos t d t

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} e^{-s t}\cos t \, dt
para um parâmetro dado s>0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
s>0,
a integral é sobre t de 1 até +\infty e o integrando é e^{-s t}\cos t. Como s>0, o fator e^{-s t} decai quando t\to+\infty, o que garante convergência (vou mostrar isso de maneira concreta nos passos seguintes).

Passo 2

Mudança de variável para reduzir o intervalo para [0,+\infty). Coloco u=t-1, então t=u+1 e quando t vai de 1 a +\infty, u vai de 0 a +\infty. Assim
\int_{1}^{+\infty} e^{-s t}\cos t \, dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-s(u+1)}\cos(u+1)\, du.
Posso tirar o fator e^{-s} que não depende de u:
\int_{1}^{+\infty} e^{-s t}\cos t \, dt = e^{-s}\int_{0}^{+\infty} e^{-s u}\cos(u+1)\, du.

Passo 3

Uso a identidade trigonométrica de soma de ângulos:
\cos(u+1)=\cos u\cos 1-\sin u\sin 1.
Substituindo isso na integral e distribuindo:
e^{-s}\int_{0}^{+\infty} e^{-s u}\cos(u+1)\, du = e^{-s}\Big(\cos 1\int_{0}^{+\infty} e^{-s u}\cos u\, du -\sin 1\int_{0}^{+\infty} e^{-s u}\sin u\, du\Big).
Defino, para simplificar, as duas integrais típicas (essas são as transformadas de Laplace de \cos e \sin):
I:=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\cos t\, dt, \qquad J:=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\sin t\, dt.
Então a integral original vale
e^{-s}\big(\cos 1\; I - \sin 1\; J\big).

Passo 4

Cálculo de I e J de forma prática usando exponencial complexa. Considere a integral complexa
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}e^{i t}\, dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-(s-i)t}\, dt.
Como \Re(s-i)=s>0, a integral converge e podemos integrar:
\int_{0}^{+\infty} e^{-(s-i)t}\, dt =\Big[-\frac{1}{s-i}e^{-(s-i)t}\Big]_{0}^{+\infty} =\frac{1}{s-i}.
Agora, usando e^{i t}=\cos t + i\sin t, o membro esquerdo é
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}(\cos t + i\sin t)\, dt = I + iJ.
Portanto
I + iJ = \frac{1}{s-i}.
Escrevo a fração no formato real+imaginário:
\frac{1}{s-i}=\frac{s+i}{s^{2}+1}.
Comparando partes real e imaginária obtemos
I=\frac{s}{s^{2}+1}, \qquad J=\frac{1}{s^{2}+1}.
(Observação didática: essas fórmulas são as transformadas de Laplace clássicas de \cos t e \sin t; dá para obter via partes também, mas o método com exponencial complexa é curto e direto.)

Passo 5

Volto à expressão obtida no Passo 3 e substituo I e J:
\int_{1}^{+\infty} e^{-s t}\cos t \, dt = e^{-s}\Big(\cos 1\cdot \frac{s}{s^{2}+1} - \sin 1\cdot \frac{1}{s^{2}+1}\Big).
Coloco em uma fração única:
\int_{1}^{+\infty} e^{-s t}\cos t \, dt = e^{-s}\,\frac{s\cos 1 - \sin 1}{s^{2}+1}.

Resposta

\boxed{\displaystyle \int_{1}^{+\infty} e^{-s t}\cos t \, dt = e^{-s}\,\frac{s\cos 1 - \sin 1}{s^{2}+1},\quad s>0.}

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