- Dado
, calcule
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral imprópria
para um parâmetro dado
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
a integral é sobre
de
até
e o integrando é
. Como
, o fator
decai quando
, o que garante convergência (vou mostrar isso de maneira concreta nos passos seguintes).
Passo 2
Mudança de variável para reduzir o intervalo para
. Coloco
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Posso tirar o fator
que não depende de
:
Passo 3
Uso a identidade trigonométrica de soma de ângulos:
Substituindo isso na integral e distribuindo:
Defino, para simplificar, as duas integrais típicas (essas são as transformadas de Laplace de
e
):
Então a integral original vale
Passo 4
Cálculo de
e
de forma prática usando exponencial complexa. Considere a integral complexa
Como
, a integral converge e podemos integrar:
Agora, usando
, o membro esquerdo é
Portanto
Escrevo a fração no formato real+imaginário:
Comparando partes real e imaginária obtemos
(Observação didática: essas fórmulas são as transformadas de Laplace clássicas de
e
; dá para obter via partes também, mas o método com exponencial complexa é curto e direto.)
Passo 5
Volto à expressão obtida no Passo 3 e substituo
e
:
Coloco em uma fração única: