QUESTÃO 06 (Valor: \mathbf{1 0 , 0} pontos) (UNB) - Estima-se que 1350 \mathrm{~m}^{2} de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 \times 1350 bilhões de \mathrm{m}^{2} de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de 2 \% ao ano, e usando as aproximações \ln 1,02=0,02 ; \ln 2=0,70 e \ln 3=1,10, determine em que ano, a partir de 1987 , a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem direitinho para a gente não se perder):
  • Cada pessoa precisa de \;1350\;\mathrm{m}^2\; de terra para ser alimentada.
  • A área total de terra arável no mundo é \;30\times 1350\; bilhões de \mathrm{m}^2. (Peguei esse dado do enunciado.)
  • Com isso, a população máxima sustentável é \;30 bilhões de pessoas (o enunciado já explicou essa conclusão).
  • A população mundial no início de 1987 era \;5 bilhões. (Peguei esse dado do enunciado.)
  • A população cresce a uma taxa de \;2\% ao ano. (Peguei esse dado do enunciado.)
  • Aproximações fornecidas: \ln 1{,}02=0{,}02, \ln 2=0{,}70 e \ln 3=1{,}10. (Peguei essas aproximações do enunciado.)
O que o problema pede: determinar em que ano, contado a partir de 1987, a população alcançará a capacidade máxima de \;30 bilhões de pessoas. Em termos práticos, precisamos achar quantos anos depois de 1987 isso ocorre e então somar ao ano \;1987.

Passo 2

Modelagem do crescimento populacional — por que usar exponencial?
Quando uma quantidade cresce a uma taxa percentual fixa por unidade de tempo (aqui \;2\% ao ano), a evolução ano a ano segue um fator multiplicativo constante. Se \;P_0 é a população inicial e a taxa anual é \;2\%, então após t anos a população é dada por:
P(t)=P_0(1{,}02)^t.
Explicando: \;1{,}02 significa 100\%+2\%=102\%, e multiplicamos a população por esse fator a cada ano; repetir isso t vezes dá a potência (1{,}02)^t. Outra forma equivalente (útil para manipular logaritmos) é usar a forma contínua P(t)=P_0e^{rt} com r=\ln(1{,}02). As duas formas são compatíveis porque e^{\ln(1{,}02)\,t}=(1{,}02)^t.

Passo 3

Colocando os números no modelo: a população inicial é \;P_0=5 bilhões e queremos o tempo t tal que P(t)=30 bilhões. Então montamos a equação
5(1{,}02)^t=30.
Agora isolamos (1{,}02)^t:
(1{,}02)^t=\frac{30}{5}=6.
Ou seja, queremos achar t tal que (1{,}02)^t=6.

Passo 4

Resolver usando logaritmos — revisão rápida e aplicação:
Propriedade útil dos logaritmos: \ln(a^t)=t\ln a. Então aplicando \ln aos dois lados de (1{,}02)^t=6 obtemos
t\ln(1{,}02)=\ln 6.
Assim
t=\frac{\ln 6}{\ln(1{,}02)}.
Agora precisamos avaliar \ln 6. Usamos a multiplicação 6=2\cdot 3 e a propriedade \ln(ab)=\ln a+\ln b, logo
\ln 6=\ln 2+\ln 3.
Com as aproximações dadas: \ln 2=0{,}70 e \ln 3=1{,}10, então
\ln 6=0{,}70+1{,}10=1{,}80.

Passo 5

Calcular t usando \ln(1{,}02)=0{,}02 (fornecido):
t=\frac{\ln 6}{\ln(1{,}02)}=\frac{1{,}80}{0{,}02}.
Fazendo a divisão:
t=90\\ \text{anos}.
Interpretação: a população atinge \;30 bilhões após \;90 anos contados desde o início de 1987.

Passo 6

Converter o tempo em ano do calendário: somamos \;90 anos a \;1987:
1987+90=2077.
Portanto, segundo o modelo e as aproximações dadas, a Terra teria a máxima população sustentável no ano \;2077.

Resposta

2077

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