QUESTÃO 06 (Valor:
pontos) (UNB) - Estima-se que
de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há
bilhões de
de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de
ao ano, e usando as aproximações
e
, determine em que ano, a partir de 1987 , a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem direitinho para a gente não se perder):
- Cada pessoa precisa de
de terra para ser alimentada. - A área total de terra arável no mundo é
bilhões de . (Peguei esse dado do enunciado.) - Com isso, a população máxima sustentável é
bilhões de pessoas (o enunciado já explicou essa conclusão). - A população mundial no início de 1987 era
bilhões. (Peguei esse dado do enunciado.) - A população cresce a uma taxa de
ao ano. (Peguei esse dado do enunciado.) - Aproximações fornecidas:
, e . (Peguei essas aproximações do enunciado.)
O que o problema pede: determinar em que ano, contado a partir de 1987, a população alcançará a capacidade máxima de
bilhões de pessoas. Em termos práticos, precisamos achar quantos anos depois de 1987 isso ocorre e então somar ao ano
.
Passo 2
Modelagem do crescimento populacional — por que usar exponencial?
Quando uma quantidade cresce a uma taxa percentual fixa por unidade de tempo (aqui ao ano), a evolução ano a ano segue um fator multiplicativo constante. Se
é a população inicial e a taxa anual é
, então após
anos a população é dada por:
Quando uma quantidade cresce a uma taxa percentual fixa por unidade de tempo (aqui
Explicando:
significa
, e multiplicamos a população por esse fator a cada ano; repetir isso
vezes dá a potência
. Outra forma equivalente (útil para manipular logaritmos) é usar a forma contínua
com
. As duas formas são compatíveis porque
.
Passo 3
Colocando os números no modelo: a população inicial é
bilhões e queremos o tempo
tal que
bilhões. Então montamos a equação
Agora isolamos
:
Ou seja, queremos achar
tal que
.
Passo 4
Resolver usando logaritmos — revisão rápida e aplicação:
Propriedade útil dos logaritmos: . Então aplicando
aos dois lados de
obtemos
Propriedade útil dos logaritmos:
Assim
Agora precisamos avaliar
. Usamos a multiplicação
e a propriedade
, logo
Com as aproximações dadas:
e
, então
Passo 5
Calcular
usando
(fornecido):
Fazendo a divisão:
Interpretação: a população atinge
bilhões após
anos contados desde o início de 1987.
Passo 6
Converter o tempo em ano do calendário: somamos
anos a
:
Portanto, segundo o modelo e as aproximações dadas, a Terra teria a máxima população sustentável no ano
.