QUESTÃO 09 (Valor: 15,0 pontos) - Derive as seguintes funções, simplificando o resultado o máximo possível:
(5 ptos) t(x)=e^{x^{2}+3} \cdot \operatorname{sen}\left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar o máximo possível a função
t(x)=e^{x^{2}+3}\cdot \operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right).
Informações relevantes dadas:
t(x)=e^{x^{2}+3}\cdot \operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right).
A tarefa é encontrar t'(x) e deixá-la simplificada.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto porque t(x) é produto de duas funções. A regra do produto diz que, se
h(x)=f(x)\,g(x),
então
h'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Aqui f e g são funções de x; a ideia é derivar cada uma separadamente e combinar conforme a fórmula acima.

Passo 3

Identificamos as duas funções que compõem o produto:
f(x)=e^{x^{2}+3},\qquad g(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right).

Passo 4

Agora vamos derivar f(x). Usamos a regra da cadeia: se F(x)=e^{u(x)} então
F'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=x^{2}+3. Calculamos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+3)=2x.
Portanto
f'(x)=e^{x^{2}+3}\cdot 2x.

Passo 5

Derivamos g(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right) também por regra da cadeia. Se G(x)=\operatorname{sen}(v(x)) então
G'(x)=\cos(v(x))\cdot v'(x).
Aqui v(x)=x^{3}+1, e
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}+1)=3x^{2}.
Portanto
g'(x)=\cos\!\left(x^{3}+1\right)\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Aplicamos a regra do produto com as derivadas obtidas:
t'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Substituindo f,f',g,g':
t'(x)=\bigl(e^{x^{2}+3}\cdot 2x\bigr)\cdot \operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right) +\;e^{x^{2}+3}\cdot \bigl(\cos\!\left(x^{3}+1\right)\cdot 3x^{2}\bigr).

Passo 7

Agora simplificamos fatorando termos comuns. Observamos que e^{x^{2}+3} é fator comum em ambos os termos; também podemos fatorar um x:
t'(x)=e^{x^{2}+3}\left(2x\operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right)+3x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\right).
Fatorando x dentro do parêntese:
t'(x)=e^{x^{2}+3}\,x\left(2\operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right)+3x\cos\!\left(x^{3}+1\right)\right).

Resposta

t'(x)=e^{x^{2}+3}\,x\left(2\operatorname{sen}\!\left(x^{3}+1\right)+3x\cos\!\left(x^{3}+1\right)\right)

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