Dado S=\left\{A \in M_{2 \times 2} \mid A\right. é simétrica \} :
(a) Mostre que S é um subespaço de M_{2 \times 2}.
(b) Encontre uma base para S.
(c) Qual é a dimensão de S ?
(d) Mostre que \operatorname{dim}\left\{A \in M_{n \times n} \mid A\right. é simétrica \}=\frac{n^{2}+n}{2}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \{\,A \in M_{2\times2}\mid A\text{ é simétrica}\}éé
e pede:
(a) mostrar que S é subespaço de M_{2\times2},
(b) encontrar uma base de S,
(c) determinar \dim S,
(d) generalizar e provar que
\dim\{A\in M_{n\times n}\mid A\text{ é simétrica}\}=\tfrac{n^2+n}{2}éé.
O conteúdo usado será teoria de subespaços vetoriais, definição de base e dimensão, e contagem de graus de liberdade em matrizes simétricas.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço de M_{2\times2} verificamos três condições:
1. A matriz zero O é simétrica, logo O\in S.
2. Sejam A,B\in S. Então A^T=A e B^T=B. Logo
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
ou seja, A+B também é simétrica e pertence a S.
3. Se \lambda\in\mathbb{R} e A\in S, então
(\lambda A)^T = \lambda A^T = \lambda A,
logo \lambda A\in S.
Essas três propriedades garantem que S é subespaço de M_{2\times2}.

Passo 3

Uma matriz genérica simétrica 2\times 2 tem a forma
A = \begin{pmatrix} a & b \\[6pt] b & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Podemos escrever
A = a \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Assim, os três matrizes
E_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
são linearmente independentes e geram S. Portanto
\{E_1,E_2,E_3\} é uma base de S.]

Passo 4

Como a base de S tem exatamente três elementos, conclui-se que
\dim S = 3.
Isto responde ao item (c).

Passo 5

No caso geral de matrizes n\times n simétricas, os elementos livres são os n da diagonal e os \tfrac{n(n-1)}{2} acima da diagonal (os de baixo são iguais por simetria). Somando, obtemos
n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 + n}{2}.
Isso prova o item (d).

Resposta

(a) S é subespaço por conter a matriz zero e ser fechado sob soma e escalar.
(b) Uma base é
\displaystyle \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \right\}.
(c) \dim S = 3.
(d) \dim\{A\in M_{n\times n}\mid A\text{ simétrica}\} = \tfrac{n^2 + n}{2}.é

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