Dado o seguinte sistema de primeira ordem
, pede-se:
Determine a resposta no domínio do tempo a um degrau unitário de entrada.
Determine a resposta no domínio do tempo a um degrau unitário de entrada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a resposta no domínio do tempo de um sistema de primeira ordem representado por $ G(s) = \frac{30}{s + 25} $ quando aplicamos um degrau unitário na entrada. Isso envolve conhecimentos de Transformada de Laplace e análise de sistemas de controle. Vamos precisar entender como transformar $ G(s) $ para o tempo usando a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um degrau unitário no domínio do tempo é representado, na Transformada de Laplace, por $ \frac{1}{s} $. Então, para encontrar a resposta do sistema a esse degrau, multiplicamos $ G(s) $ pela Transformada do degrau:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar essa expressão para facilitar a Transformada Inversa de Laplace. Para isso, usamos a fração parcial, que quebra a expressão em termos mais simples. Vamos escrever:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por $ s(s + 25) $ para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores estratégicos para $ s $ para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 5
Primeiro, vamos definir $ s = 0 $:
Agora, definimos $ s = -25 $:
Passo 6
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos reescrever a expressão original:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Passo 8
Juntando os dois resultados, a resposta no domínio do tempo é:
Podemos fatorar 1.2 para simplificar:
Resposta
A resposta no domínio do tempo é $ y(t) = 1.2 \left(1 - e^{-25t}\right) $.