Dado o seguinte sistema de primeira ordem G(s)=30s+25, pede-se:
Determine a resposta no domínio do tempo a um degrau unitário de entrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a resposta no domínio do tempo de um sistema de primeira ordem representado por $ G(s) = \frac{30}{s + 25} $ quando aplicamos um degrau unitário na entrada. Isso envolve conhecimentos de Transformada de Laplace e análise de sistemas de controle. Vamos precisar entender como transformar $ G(s) $ para o tempo usando a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um degrau unitário no domínio do tempo é representado, na Transformada de Laplace, por $ \frac{1}{s} $. Então, para encontrar a resposta do sistema a esse degrau, multiplicamos $ G(s) $ pela Transformada do degrau:
1s

Passo 3

Agora, precisamos simplificar essa expressão para facilitar a Transformada Inversa de Laplace. Para isso, usamos a fração parcial, que quebra a expressão em termos mais simples. Vamos escrever:
30s(s + 25) = As + Bs + 25
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por $ s(s + 25) $ para eliminar os denominadores:
s(s + 25)
Agora, escolhemos valores estratégicos para $ s $ para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 5

Primeiro, vamos definir $ s = 0 $:
s = 0
Agora, definimos $ s = -25 $:
30 = A(0 + 25) + B(0) Rightarrow 30 = 25A Rightarrow A = 3025 = 1.2

Passo 6

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos reescrever a expressão original:
A

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s + a = e^-at
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-11.2s = 1.2
L^-1-1.2s + 25 = -1.2 e^-25t

Passo 8

Juntando os dois resultados, a resposta no domínio do tempo é:
y(t) = 1.2 - 1.2 e^-25t
Podemos fatorar 1.2 para simplificar:
y(t) = 1.2 (1 - e^-25t)

Resposta

A resposta no domínio do tempo é $ y(t) = 1.2 \left(1 - e^{-25t}\right) $.

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