Dado o seguinte sistema de primeira ordem G(s)=s+10s+17, pede-se:
Determine a resposta no domínio do tempo a um degrau unitário de entrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a resposta no domínio do tempo para um sistema de primeira ordem dado pela função de transferência $ G(s) = \frac{s + 10}{s + 17} $ quando aplicamos um degrau unitário na entrada. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e resposta a degraus para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando que um degrau unitário no domínio de Laplace é representado por $ R(s) = \frac{1}{s} $. Isso vai ser a nossa entrada para o sistema.

Passo 3

A saída no domínio de Laplace $ C(s) $ é dada pela multiplicação da função de transferência $ G(s) $ pela entrada $ R(s) $:
C(s)
Aqui, decompomos a expressão para facilitar a transformação inversa.

Passo 4

Vamos separar em frações parciais para simplificar a inversão:
s + 10s(s + 17) = As + Bs + 17
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 17) $:
s(s + 17)
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores estratégicos de $ s $:
  • Para $ s = 0 $:
s + 10 = A(s + 17) + B s
  • Para $ s = -17 $:
A
Então, a decomposição fica:
B

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
c(t) = 1017 cdot 1 + 717 cdot e^-17t
Aqui, usamos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} = 1 $ e $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s + a}\right} = e^{-at} $.

Resposta

A resposta no domínio do tempo é:
c(t) = 1017 + 717 , e^-17t

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