Dado o seguinte sistema de primeira ordem
, pede-se:
Determine a resposta no domínio do tempo a um degrau unitário de entrada.
Determine a resposta no domínio do tempo a um degrau unitário de entrada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a resposta no domínio do tempo para um sistema de primeira ordem dado pela função de transferência $ G(s) = \frac{s + 10}{s + 17} $ quando aplicamos um degrau unitário na entrada. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e resposta a degraus para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando que um degrau unitário no domínio de Laplace é representado por $ R(s) = \frac{1}{s} $. Isso vai ser a nossa entrada para o sistema.
Passo 3
A saída no domínio de Laplace $ C(s) $ é dada pela multiplicação da função de transferência $ G(s) $ pela entrada $ R(s) $:
Aqui, decompomos a expressão para facilitar a transformação inversa.
Passo 4
Vamos separar em frações parciais para simplificar a inversão:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 17) $:
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores estratégicos de $ s $:
- Para $ s = 0 $:
- Para $ s = -17 $:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Aqui, usamos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} = 1 $ e $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s + a}\right} = e^{-at} $.
Resposta
A resposta no domínio do tempo é: