Dado o seguinte sistema de primeira ordem
, pede-se:
Represente graficamente a curva de resposta ao degrau do sistema.
Represente graficamente a curva de resposta ao degrau do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representar graficamente a resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem dado por $ G(s) = \frac{30}{s + 25} $. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de controle e como traçar a resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber o que é uma resposta ao degrau. Basicamente, é a reação do sistema quando aplicamos uma entrada que subitamente muda de zero para um valor constante, como um degrau. No caso de sistemas de primeira ordem, essa resposta tem uma forma específica.
Passo 3
Vamos identificar os parâmetros do nosso sistema. Na função $ G(s) = \frac{30}{s + 25} $, o número 30 é o ganho estático $ K $ e 25 é a constante de tempo $ a $. Esses valores vão determinar como a resposta ao degrau vai se comportar no tempo.
Passo 4
A fórmula geral para a resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem é:
Onde:
- $ y(t) $ é a resposta do sistema no tempo $ t $.
- $ K $ é o ganho do sistema.
- $ a $ é a constante de tempo.
Passo 5
Vamos substituir os valores do nosso sistema na fórmula:
Isso nos dá a equação que descreve como a saída do sistema reage ao tempo após a aplicação do degrau.
Passo 6
Para representar graficamente, vamos analisar o comportamento dessa função:
- Quando $ t = 0 $, $ y(0) = 0 $ (o sistema começa sem saída).
- À medida que $ t $ aumenta, $ y(t) $ se aproxima de $ 30 $.
- A constante $ 25 $ indica que o sistema atingirá cerca de 63% da sua resposta final em $ \frac{1}{25} $ segundos, que é o tempo característico do sistema.
Passo 7
Com base nisso, desenhamos o gráfico:
- No eixo horizontal, colocamos o tempo $ t $.
- No eixo vertical, a resposta $ y(t) $.
- Começamos em $ y = 0 $.
- A curva sobe rapidamente e se aproxima de 30, nunca ultrapassando esse valor.
- A taxa de subida é determinada pela constante de tempo $ a = 25 $.
Resposta
A curva de resposta ao degrau do sistema $ G(s) = \frac{30}{s + 25} $ é uma curva exponencial crescente que inicia em $ y = 0 $ e se aproxima assintoticamente de $ y = 30 $, com a maior parte da subida ocorrendo nos primeiros $ \frac{1}{25} $ segundos.