Encontre os coeficientes da série de Fourier para o seguinte sinal:
& a) x[n]=cos (pi3 n)+sen(pi4 n)
Obs.: Utilize a relação de Euler

Passo 1

Beleza, primeiro vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos usar.
Enunciado: “Dado o sinal discreto periódico
x[n] = cos!l(tfracpi3nr) ;+;sin!l(tfracpi4nr),
encontre os coeficientes da sua Série de Fourier Discreta, usando a relação de Euler.”
Conteúdo: Série de Fourier discreta (DFS), decomposição em exponenciais complexas pela fórmula de Euler.
O que precisamos:
  1. Determinar o período fundamental x[n] = sumk=0^N-1 ck,e^j2piNk,n .
  2. Expressar cada termo trigonométrico como soma de exponenciais via Euler.
  3. Comparar com a forma geral da DFS
e extrair os .

Passo 2

Calcular o período fundamental N = mcm(6,8) = 24 .
  • omega0 = 2piN = 2pi24 = pi12 tem ângulo , período .
  • tem ângulo , período .
    O período do sinal soma é o mínimo múltiplo comum:
Logo a frequência fundamental da DFS é

Passo 3

Usar Euler para cada termo. Lembrando as fórmulas:
cos(theta) = e^jtheta + e^-jtheta2, sin(theta) = e^jtheta - e^-jtheta2j
  1. Para cos!l(tfracpi3nr) = e^jpi3n + e^-jpi3n2 :
cos!l(tfracpi3nr) = 12,e^j4omega0 n + 12,e^-j4omega0 n
Mas sin!l(tfracpi4nr) = e^jpi4n - e^-jpi4n2j . Então
sin!l(tfracpi4nr) = -j2,e^j3omega0 n ;+;j2,e^-j3omega0 n
  1. Para :
Note que . E . Assim

Passo 4

Agora somamos as duas decomposições:
x[n] = 12e^j4omega0 n + 12e^-j4omega0 n ;-;j2e^j3omega0 n ;+;j2e^-j3omega0 n
Comparando com a forma da DFS
x[n] = sumk=0^N-1 ck,e^j k omega0 n,
vemos que os únicos índices que dão coeficiente não zero são .
(Remarque que aqui fica equivalente a no somatório de a .)

Resposta

Os coeficientes c4 = tfrac12, c-4 = tfrac12, c3 = -tfracj2, c-3 = tfracj2, ck = 0para os demais k da Série de Fourier (com período ) são:

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