Encontre os coeficientes da série de Fourier para o seguinte sinal:
Obs.: Utilize a relação de Euler
Passo 1
Beleza, primeiro vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos usar.
Enunciado: “Dado o sinal discreto periódico
Enunciado: “Dado o sinal discreto periódico
encontre os coeficientes da sua Série de Fourier Discreta, usando a relação de Euler.”
Conteúdo: Série de Fourier discreta (DFS), decomposição em exponenciais complexas pela fórmula de Euler.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Determinar o período fundamental
. - Expressar cada termo trigonométrico como soma de exponenciais via Euler.
- Comparar com a forma geral da DFS
e extrair os
.
Passo 2
Calcular o período fundamental
.
-
tem ângulo , período . -
tem ângulo , período .
O período do sinal soma é o mínimo múltiplo comum:
Logo a frequência fundamental da DFS é
Passo 3
Usar Euler para cada termo. Lembrando as fórmulas:
- Para
:
Mas
. Então
- Para
:
Note que
. E
. Assim
Passo 4
Agora somamos as duas decomposições:
Comparando com a forma da DFS
vemos que os únicos índices
que dão coeficiente não zero são
.
(Remarque que aqui fica equivalente a
no somatório de
a
.)
(Remarque que
Resposta
Os coeficientes
da Série de Fourier (com período
) são: