Um sinal periódico de tempo discreto
tem os coeficientes da Série de Fourier:
Dado que
seja a entrada de um sistema com resposta ao impulso
, determine os coeficientes da série de Fourier da saída desse sistema,
.
Passo 1
Então, o que temos aqui é um sinal periódico discreto x[n] com coeficientes da Série de Fourier
e ele entra num sistema LTI de resposta ao impulso
O objetivo é achar os coeficientes
da Série de Fourier de saída
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Série de Fourier para sinais periódicos.
- Resposta em frequência de um sistema LTI:
. - Propriedade: se
tem coeficientes e , então , com sendo os harmônicos.
Passo 2
Vamos achar a resposta em frequência
Passo 3
Precisamos do ângulo
dos harmônicos de
. Como só aparecem índices até
, o período mínimo é
e
Logo, pela propriedade,
$$b_k ;=;a_k;\times;H\bigl(e^{\jmath\Omega_k}\bigr)
;=;a_k;\frac{3}{1-0.5,e^{-,\jmath,2\pi k/14}},. $$
Passo 4
Bast a pegar cada
:
- k=0:
- k=±2 (Ω=±2π/7):
- k=±4 (Ω=±4π/7):
- k=±7 (Ω=±π): note que
, então
$$H(e^{\pm\jmath\pi})=\frac{3}{1-0.5(-1)}=\frac{3}{1.5}=2,\quad
b_{\pm7}=a_{\pm7}\cdot2=\tfrac12\cdot2=1,. $$
Resposta
Os coeficientes da saída são