Um sinal periódico de tempo discreto x[n] tem os coeficientes da Série de Fourier:
a0=1 ; a2=a-2=-3 / 2 ;-a4=a-4=-1 / j ; a7=a-7=1 / 2
Dado que x[n] seja a entrada de um sistema com resposta ao impulso h[n]=3 x 0,5^n u[n], determine os coeficientes da série de Fourier da saída desse sistema, y[n].

Passo 1

Então, o que temos aqui é um sinal periódico discreto x[n] com coeficientes da Série de Fourier
a0=1,;apm2=-tfrac32,;apm4=-tfrac1jmath,;apm7=tfrac12
e ele entra num sistema LTI de resposta ao impulso
h[n]=3,(0.5)^n,u[n],
O objetivo é achar os coeficientes bk da Série de Fourier de saída y[n]=x[n]*h[n].
Conteúdo que vamos usar:
  1. Série de Fourier para sinais periódicos.
  2. Resposta em frequência de um sistema LTI: H(e^jmathOmega)=sum h[n]e^-,jmathOmega n.
  3. Propriedade: se x[n] tem coeficientes ak e y[n]=x*h, então bk = ak;!H(e^jmathOmegak), com Omegak sendo os harmônicos.

Passo 2

Vamos achar a resposta em frequência
H(e^jmathOmega) ;=;sumn=0^infty3,(0.5)^n e^-,jmathOmega n ;=;3sumn=0^infty(0.5,e^-,jmathOmega)^n ;=;31-0.5,e^-,jmathOmega,

Passo 3

Precisamos do ângulo Omegak dos harmônicos de x[n]. Como só aparecem índices até |k|=7, o período mínimo é N=14 e
Omegak=2pi k14,
Logo, pela propriedade,
$$b_k ;=;a_k;\times;H\bigl(e^{\jmath\Omega_k}\bigr)
;=;a_k;\frac{3}{1-0.5,e^{-,\jmath,2\pi k/14}},. $$

Passo 4

Bast a pegar cada ak:
  1. k=0:
H(e^jmath0)=31-0.5=6, b0= a0cdot6=1cdot6=6
  1. k=±2 (Ω=±2π/7):
bpm2 =-tfrac32;31-0.5,e^-,jmath(2pi/7),sgn(k) =-92,11-0.5,e^-,jmath(2pi/7),sgn(k),
  1. k=±4 (Ω=±4π/7):
bpm4 =-1jmath;31-0.5,e^-,jmath(4pi/7),sgn(k) =-3jmath,11-0.5,e^-,jmath(4pi/7),sgn(k),
  1. k=±7 (Ω=±π): note que e^-,jmathpi=-1, então
$$H(e^{\pm\jmath\pi})=\frac{3}{1-0.5(-1)}=\frac{3}{1.5}=2,\quad
b_{\pm7}=a_{\pm7}\cdot2=\tfrac12\cdot2=1,. $$

Resposta

Os coeficientes da saída são
b0&=6, bpm2&=-92,11-0.5,e^mpjmath,2pi/7, bpm4&=-3jmath,11-0.5,e^mpjmath,4pi/7, bpm7&=1

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