Encontre os coeficientes da série de Fourier para o seguinte sinal:
& b) x[n]=cos (6 pi13 n+pi6)
Obs.: Utilize a relação de Euler

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo para a gente encontrar os coeficientes da Série de Fourier discreta (DTFS) do sinal
x[n]=cosl(tfrac6pi13n+tfracpi6r)
O tema aqui é Série de Fourier para sinais periódicos em tempo discreto. Para resolver a gente vai precisar:
1) Saber que todo cosseno pode ser escrito em termos de exponenciais complexas (relação de Euler).
2) Identificar o período discreto e a frequência fundamental .
3) Comparar com a forma padrão da DTFS

e ler os .

Passo 2

Primeiro, a relação de Euler nos diz que
cos(theta);=;e^jtheta+e^-jtheta2
Então podemos reescrever
x[n] =cosl(tfrac6pi13n+tfracpi6r) =12,e^jl(tfrac6pi13n+tfracpi6r) +12,e^-jl(tfrac6pi13n+tfracpi6r)
Em seguida, note que omega0=2pi13, . Isso mostra que a frequência fundamental é
logo o período discreto vale 13.

Passo 3

A forma geral da DTFS para um sinal de período x[n] =sumk=0^N-1 ck,e^j k omega0 n é
Comparando com a nossa expressão, a gente vê só duas exponenciais:
  • uma com ,
  • outra com .
Isso significa que todos os são zero exceto em e em . (Lembre que em DTFS usamos índices módulo , então é o mesmo que se você quiser ficar entre 0 e 12.)

Passo 4

Agora basta ler os coeficientes:
  • Para c3=12,e^jpi6 , o termo é c-3=12,e^-jpi6 , logo
  • Para (ou ), o termo é , logo
E todos os outros .

Resposta

c3 = tfrac12,e^jpi6, c-3 = tfrac12,e^-jpi6, ck = 0para kneq pm3pmod13

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