Dado o sinal contínuo x(t)=0 se t<0 e x(t)=t+e^{t} se t>=0, grafique os sinais amostrados correspondentes de x(t) para taxas de amostragem de Ts=1/4, 1/2 e 1 .

Passo 1

O enunciado define o sinal contínuo
x(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\ t + e^{t}, & t\ge0, \end{cases}
e pede para “amostrar” esse sinal (isto é, obter x[n]=x(nT_s)) para três valores de T_s: T_s=\tfrac14, T_s=\tfrac12 e T_s=1. O conteúdo aqui é o de amostragem de sinais contínuos, em que escolhemos instantes t_n = nT_s e avaliamos x(t) nesses instantes.

Passo 2

Em geral, a amostragem com período T_s gera a sequência discreta
x[n] = x(nT_s)
para n\in\mathbb{Z}. Como x(t)=0 para t<0, temos x[n]=0 sempre que nT_s<0, ou seja, para n<0. A partir de n=0, cada valor é
x[n] = nT_s + e^{\,nT_s}.

Passo 3

Caso T_s=\tfrac14:
t_n = n\cdot\tfrac14 = \tfrac{n}{4},\quad n=0,1,2,\dots
e
x[n] = x\!\Bigl(\tfrac{n}{4}\Bigr) = \frac{n}{4} + e^{\,\tfrac{n}{4}}.
Por exemplo,
x[0]=0+e^0=1,\quad x[1]=\tfrac14+e^{1/4},\quad x[2]=\tfrac12+e^{1/2},\dots
No gráfico, marcamos em cada t=\tfrac{n}{4} um “galho” (stem) de altura \tfrac{n}{4}+e^{n/4}.

Passo 4

Caso T_s=\tfrac12:
t_n = n\cdot\tfrac12 = \tfrac{n}{2},\quad n=0,1,2,\dots
e
x[n] = x\!\Bigl(\tfrac{n}{2}\Bigr) = \frac{n}{2} + e^{\,\tfrac{n}{2}}.
Assim,
x[0]=1,\quad x[1]=\tfrac12+e^{1/2},\quad x[2]=1+e^1,\dots
No gráfico, os pontos ficam em t=0,0{,}5,1{,}0,1{,}5,\dots.

Passo 5

Caso T_s=1:
t_n = n\cdot1 = n,\quad n=0,1,2,\dots
e
x[n] = x(n) = n + e^{\,n}.
Portanto
x[0]=1,\quad x[1]=1+e,\quad x[2]=2+e^2,\dots
Os pontos estão agora em t=0,1,2,3,\dots.

Passo 6

Para cada caso, o gráfico amostrado é feito com um stem plot: no eixo horizontal marcamos t_n=nT_s e no vertical a altura x[n]. Quanto menor T_s, mais densos ficam os pontos. Em todas as três curvas, para t<0 não há amostras (todas valem zero).

Resposta

Para T_s=\tfrac14:
x[n]=\frac{n}{4}+e^{\,\tfrac{n}{4}},\quad n=0,1,2,\dots
Para T_s=\tfrac12:
x[n]=\frac{n}{2}+e^{\,\tfrac{n}{2}},\quad n=0,1,2,\dots
Para T_s=1:
x[n]=n+e^{\,n},\quad n=0,1,2,\dots

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