(Valor 1,0 ) Utilizando Soma de Riemann, determine uma aproximação para a área da região do plano x y que está abaixo do gráfico da função f(x)=4 x^{2}, acima do eixo x, e entre as retas verticais x=1 e x=3, usando quatro retângulos aproximantes e extremidade direita como ponto amostral.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área da região no plano xy que está abaixo do gráfico de f(x)=4x^{2}, acima do eixo x, e entre x=1 e x=3, usando soma de Riemann com n=4 retângulos e ponto amostral na extremidade direita de cada subintervalo.

Passo 2

Para soma de Riemann definimos
A \approx \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*)\,\Delta x
onde \Delta x = \frac{3-1}{4}=0,5.

Passo 3

Como o ponto amostral é o extremo direito, os x_i^* são
x_1^*=1,5,\quad x_2^*=2,0,\quad x_3^*=2,5,\quad x_4^*=3,0.

Passo 4

Avaliando a função em cada ponto:
f(1,5)=4\cdot(1,5)^2=9,\quad f(2,0)=4\cdot(2,0)^2=16,
f(2,5)=4\cdot(2,5)^2=25,\quad f(3,0)=4\cdot(3,0)^2=36.

Passo 5

Substituindo na soma de Riemann:
A \approx (9 + 16 + 25 + 36)\times 0,5 = 86\times 0,5 = 43.

Resposta

A aproximação da área é 43.

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