Dado o sinal x[n]=1,2,1,0], calcule a sua DFT manualmente e interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado pede a Transformada Discreta de Fourier (DFT) de um sinal de comprimento N=4, dado por
;x[n]=,1,,2,,1,,0, n=0,1,2,3
O conteúdo aqui é DFT de sinais de tempo discreto. Para resolver, vamos usar a definição
X[k] ;=;sumn=0^3 x[n];e^-j2pi4kn, k=0,1,2,3

Passo 2

Calcular X[0]. Substituindo k=0 na soma, temos
X[0]=sumn=0^3x[n],e^-j0 =1+2+1+0=4

Passo 3

Calcular X[1]. Para k=1:
X[1] =sumn=0^3x[n],e^-j2pi4,1cdot n =1+2e^-jpi2+1e^-jpi+0
Como e^-jpi2=-j e e^-jpi=-1,
X[1]=1+2(-j)+1(-1) =1-2j-1=-2j

Passo 4

Calcular X[2]. Para k=2:
X[2] =sumn=0^3x[n],e^-j2pi4,2n =1+2e^-jpi+1e^-j2pi+0
Como e^-jpi=-1 e e^-j2pi=1,
X[2]=1+2(-1)+1(1)=1-2+1=0

Passo 5

Calcular X[3]. Para k=3:
X[3] =sumn=0^3x[n],e^-j2pi4,3n =1+2e^-j3pi2+1e^-j3pi+0
Sabendo e^-j3pi2=+j e e^-j3pi=-1,
X[3]=1+2(j)+1(-1)=1+2j-1=2j

Passo 6

Interpretação dos resultados:
  • O componente DC ( k=0) vale 4, que é simplesmente a soma dos valores do sinal.
  • As frequências k=1 e k=3 aparecem puramente imaginárias, com
    ;X[1]=-2j e X[3]=+2j. Seus módulos são |X[1]|=|X[3]|=2 e fases -90^circ e +90^circ, respectivamente.
  • Em k=2 não há componente ( X[2]=0).
  • Como x[n] é real, nota-se a simetria X[3]=X[1]^*.
Em termos práticos, o sinal original tem um deslocamento DC e um “par” de componentes senoidais em pm 1 ciclo por janela de 4 amostras, sem contribuição na frequência k=2.

Resposta

lX[k]r|k=0,1,2,3=,4,;-2j,;0,;2j

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