Dado o sistema abaixo, resolva por:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=8 \\\\ 8 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}=16 \end{array}\right.
Mitodo de Gauss (escalonamento).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede a resolução pelo método de Gauss (escalonamento):
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5,\\[4pt] 4 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=8,\\[4pt] 8 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}=16. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{cases} \text{Equação (1): }2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5,\\[4pt] \text{Equação (2): }4 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=8,\\[4pt] \text{Equação (3): }8 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}=16. \end{cases}çãçãçã
O objetivo é encontrar os valores de \;x_{1},x_{2},x_{3}\; que satisfazem todas as três equações simultaneamente, usando escalonamento (eliminação de Gauss).]

Passo 2

Transformamos o sistema na sua matriz aumentada para aplicar operações de linha com mais clareza. A matriz aumentada é a matriz dos coeficientes junto com o vetor de termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 5\\[4pt] 4 & 3 & -1 & 8\\[4pt] 8 & 5 & -3 & 16 \end{array}\right].
Breve explicação das operações permitidas (importante para Gauss):
  • trocar duas linhas entre si;
  • multiplicar uma linha por um número não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. Vamos usar essas operações para transformar a matriz numa forma triangular superior (escalonada).]

Passo 3

Escolhemos o elemento \;2\; da primeira linha e primeira coluna como primeiro pivô. O objetivo é zerar os elementos abaixo desse pivô na coluna 1. Fazemos:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}.
Calculemos passo a passo:
Para R_{2}-2R_{1}:
\begin{array}{l} 4-2\cdot 2 = 4-4 = 0,\\[4pt] 3-2\cdot 2 = 3-4 = -1,\\[4pt] -1-2\cdot(-1) = -1+2 = 1,\\[4pt] 8-2\cdot 5 = 8-10 = -2. \end{array}
Logo R_{2} após a operação fica [0\;\; -1\;\; 1\;|\;-2].
Para R_{3}-4R_{1}:
\begin{array}{l} 8-4\cdot 2 = 8-8 = 0,\\[4pt] 5-4\cdot 2 = 5-8 = -3,\\[4pt] -3-4\cdot(-1) = -3+4 = 1,\\[4pt] 16-4\cdot 5 = 16-20 = -4. \end{array}
Logo R_{3} após a operação fica [0\;\; -3\;\; 1\;|\;-4].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -4 \end{array}\right].]

Passo 4

Para facilitar a eliminação na segunda coluna, vamos tornar o pivô da segunda linha igual a 1. Atualmente o pivô é -1 em R_{2}. Multiplicamos R_{2} por -1:
R_{2}\leftarrow -R_{2}.
Isso dá
R_{2}=[0\;\;1\;\;-1\;|\;2].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -4 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora usamos o pivô 1 em R_{2} para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2. Fazemos:
R_{3}\leftarrow R_{3}+3R_{2}.
Calculemos componentes de R_{3}+3R_{2}:
\begin{array}{l} 0+3\cdot 0 = 0,\\[4pt] -3+3\cdot 1 = -3+3 = 0,\\[4pt] 1+3\cdot(-1) = 1-3 = -2,\\[4pt] -4+3\cdot 2 = -4+6 = 2. \end{array}
Portanto R_{3} fica [0\;\;0\;\;-2\;|\;2].
A matriz escalonada (triangular superior) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right].]

Passo 6

Chegamos a uma forma triangular superior. Agora aplicamos substituição regressiva (back-substitution). Da terceira linha obtemos uma equação só em \;x_{3}\;:
-2x_{3}=2.
Resolva isolando \;x_{3}\;. Dividindo ambos os lados por -2:
x_{3}=\frac{2}{-2}=-1.

Passo 7

Usamos o valor de \;x_{3}\; para encontrar \;x_{2}\; a partir da segunda linha, que representa:
x_{2}-x_{3}=2.
Substituindo \;x_{3}=-1\;:
x_{2}-(-1)=2 \quad\Rightarrow\quad x_{2}+1=2 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.
Agora encontramos \;x_{1}\; usando a primeira linha:
2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=5.
Substituindo \;x_{2}=1\; e \;x_{3}=-1\;:
2x_{1}+2\cdot 1 -(-1)=5 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+2+1=5 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+3=5.
Isolando \;x_{1}\;:
2x_{1}=5-3=2 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Passo 8

Vamos verificar rapidamente (substituição nas equações originais) para garantir que não cometemos erro:
\begin{array}{l} \text{Eq.(1): }2\cdot 1 + 2\cdot 1 -(-1) = 2+2+1 = 5\quad\checkmark,\\[4pt] \text{Eq.(2): }4\cdot 1 + 3\cdot 1 -(-1) = 4+3+1 = 8\quad\checkmark,\\[4pt] \text{Eq.(3): }8\cdot 1 + 5\cdot 1 -3\cdot(-1) = 8+5+3 = 16\quad\checkmark. \end{array}
Tudo confere: solução consistente e única.]

Resposta

x_{1}=1\
x_{2}=1\
x_{3}=-1

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