Calcule as integrais imediatas definidas:
\int_{0}^{\pi}(\cos x-\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imediata definida
\displaystyle \int_{0}^{\pi}(\cos x-\operatorname{sen} x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos x-\operatorname{sen} x.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e \pi (superior).
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro princípio útil: a integral é linear, ou seja posso separar a soma/diferença dentro da integral. Portanto escrevo
\int_{0}^{\pi}(\cos x-\operatorname{sen} x)\,dx = \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx - \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx.
Explicando a linearidade: se f e g são funções integráveis e a,b são constantes, então
\displaystyle \int (a f + b g)= a\int f + b\int g. Aqui a=1, b=-1.

Passo 3

Agora precisamos das antiderivadas (primitivas) de \cos x e de \operatorname{sen} x.
Relembrando derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\sin x.
    A partir disso, as integrais indefinidas são:
\int \cos x\,dx = \sin x + C
\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + C.
(O C é a constante de integração para integrais indefinidas; na integral definida usaremos uma primitiva qualquer sem o C.)

Passo 4

Usando as antiderivadas acima, uma primitiva da função integranda \cos x-\operatorname{sen} x é
F(x)=\sin x + \cos x.
Justificação detalhe a detalhe:
  • A primitiva de \cos x é \sin x.
  • A primitiva de -\operatorname{sen} x é -(-\cos x)=+\cos x.
    Somando dá \sin x+\cos x.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a=0, b=\pi e F(x)=\sin x+\cos x. Portanto devemos calcular
F(\pi)-F(0).

Passo 6

Calculo de F(\pi):
F(\pi)=\sin\pi+\cos\pi.
Sabemos que \sin\pi=0 e \cos\pi=-1. Logo
F(\pi)=0+(-1)=-1.

Passo 7

Calculo de F(0):
F(0)=\sin 0+\cos 0.
Sabemos que \sin 0=0 e \cos 0=1. Logo
F(0)=0+1=1.

Passo 8

Subtraindo para obter a integral definida:
\int_{0}^{\pi}(\cos x-\operatorname{sen} x)\,dx = F(\pi)-F(0) = -1 - 1 = -2.
Interpretação rápida: a parte \cos x contribuiu com um valor que somado à contribuição de -\sin x deu resultado negativo total -2.

Resposta

-2

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