Calcule as integrais imediatas definidas:
\int_{0}^{1} x\left(2 x^{2}-1\right)^{9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\left(2 x^{2}-1\right)^{9}\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }x\left(2 x^{2}-1\right)^{9};\quad \text{intervalo: }x\in[0,1].
Queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos tentar uma substituição que simplifique a expressão \left(2x^{2}-1\right)^{9}. Uma escolha natural é definir a nova variável como a expressão dentro do parêntese:
u = 2x^{2}-1.
Agora derivamos para relacionar du com dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
du = 4x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando x=0,
u = 2\cdot 0^{2}-1 = -1.
Quando x=1,
u = 2\cdot 1^{2}-1 = 1.
Substituindo u e x\,dx na integral original, obtemos
\int_{0}^{1} x\left(2 x^{2}-1\right)^{9}\,dx = \int_{u=-1}^{u=1} \left(u^{9}\right)\left(\frac{1}{4}\,du\right).
Colocando o fator constante para fora,
\int_{-1}^{1} \frac{1}{4} u^{9}\,du = \frac{1}{4}\int_{-1}^{1} u^{9}\,du.

Passo 4

Observe que a função u^{9} é ímpar, isto é, u^{9} = -(-u)^{9}. Uma propriedade útil é: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero, porque as áreas à esquerda e à direita do zero se cancelam. Como aqui os limites são simétricos ( -1 a 1), podemos concluir rapidamente que
\int_{-1}^{1} u^{9}\,du = 0.
Portanto
\frac{1}{4}\int_{-1}^{1} u^{9}\,du = \frac{1}{4}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Para quem prefere ver pela primitiva: \displaystyle \int u^{9}\,du = \frac{u^{10}}{10}. Então
\frac{1}{4}\left[\frac{u^{10}}{10}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{40}\left(1^{10}-(-1)^{10}\right) = \frac{1}{40}(1-1)=0,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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