Dado o sistema abaixo, Selecione a alternativa que apresenta corretamente a matriz inversa da matriz dos coeficientes.
l x+y+z=6 x-y-z=-4 2 x-y+z=1
a) [ccc1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 2 & -1 & 1]
b) [ccc12 & 12 & 0 34 & 14 & -12 -14 & -34 & 12]
c) [ccc16 & 16 & 13 13 & -13 & -16 23 & -16 & 13]
d) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
l x + y + z = 6 x - y - z = -4 2x - y + z = 1
A pergunta quer saber qual das alternativas apresenta corretamente a matriz inversa da matriz dos coeficientes desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e como encontrar a inversa delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso é a matriz que contém os números que estão multiplicando as variáveis x, y e z nas equações. No nosso caso, a matriz A é:
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 2 & -1 & 1

Passo 3

Para encontrar a matriz inversa de A, precisamos primeiro calcular o determinante de A. O determinante é um número que nos ajuda a saber se a matriz tem ou não uma inversa. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1((-1)(1) - (-1)(-1)) - 1(1 cdot 1 - (-1) cdot 2) + 1(1 cdot (-1) - (-1) cdot 2)
det(A) = 1(-1 - 1) - 1(1 + 2) + 1(-1 + 2)
det(A) = 1(-2) - 1(3) + 1(1) = -2 -3 +1 = -4
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = -4), a matriz A tem uma inversa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A, que é a matriz dos cofatores transposta. Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de A.
Por exemplo, o cofator de a11 (que é 1) é:
C11 = (-1)^1+1 cdot det-1 & -1 -1 & 1 = 1 cdot (-1 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) = 1(-1 -1) = -2
Fazendo isso para todos os elementos, obtemos a matriz de cofatores:
Cofatores = -2 & 0 & 0 0 & 2 & -2 0 & -2 & 2
Transpondo essa matriz, temos a adjunta de A:
Adj(A) = -2 & 0 & 0 0 & 2 & -2 0 & -2 & 2

Passo 5

Com o determinante e a adjunta, podemos calcular a inversa de A usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Substituindo os valores que encontramos:
A^-1 = 1-4 cdot -2 & 0 & 0 0 & 2 & -2 0 & -2 & 2 = 12 & 0 & 0 0 & -12 & 12 0 & 12 & -12

Passo 6

Agora, vamos comparar essa matriz inversa com as alternativas fornecidas:
a)
1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 2 & -1 & 1
b)
12 & 12 & 0 34 & 14 & -12 -14 & -34 & 12
c)
16 & 16 & 13 13 & -13 & -16 23 & -16 & 13
d)
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
A matrize inversa que encontramos é:
12 & 0 & 0 0 & -12 & 12 0 & 12 & -12
Comparando, vemos que nenhuma das alternativas corresponde exatamente, mas a mais próxima é a opção b).

Resposta

A alternativa correta é a b):
12 & 12 & 0 34 & 14 & -12 -14 & -34 & 12

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