Suponha que para cosntruir casas de acordo com os projetos A, B, C, entre outros matérias, sejam necessários a quantidade de materiais fornecidos na tabela abaixo onde a madeira e o concreto são dados em os tijolos e telhas em milhares. Dispondo-se de de madeira, de concreto, 162.000 tijolos e 53.000 telhas, quantas casas de cada tipo de projeto podem ser construídas?
Concreto 1
Concreto 2
Concreto 3
madeira
1
3
8
concreto
25
20
15
tijolos
18
20
15
telhas
6
5
7
Passo 1
O enunciado pede quantas casas de cada tipo (que chamaremos de projeto , e ) podemos construir dadas as limitações de recursos. O conteúdo envolvido é programação linear inteira: vamos definir variáveis para o número de casas de cada projeto, montar as inequações de recurso e maximizar a soma total de casas, respeitando que só podemos construir números inteiros de casas.
Passo 2
Definimos
onde é o número de casas do projeto . Da tabela e dos estoques, temos as seguintes restrições (notando que tijolos e telhas estão em milhares, logo dividimos o estoque por ):
Passo 3
O objetivo é maximizar o total de casas:
max;Z = x1 + x2 + x3
Como temos poucas variáveis e restrições lineares, podemos buscar o vértice ótimo testando combinações ou usar o método de pontos extremos.
Passo 4
Testamos inicialmente construir só um tipo de casa:
Só tipo 1: x1 <= min(291, 19025, 16218, 536) = (29,7, 7,6, 9,0, 8,8) = 7 casas.
Só tipo 2: x2 <= min(293, 19020, 16220, 535) = (9,6, 9,5, 8,1, 10,6) = 8 casas.
Só tipo 3: x3 <= min(298, 19015, 16215, 537) = (3,6, 12,7, 10,8, 7,5) = 3 casas.
O melhor mono-tipo dá 8 casas (todas do projeto 2).
Passo 5
Experimentamos misturar tipos 1 e 2 (com x3=0) e vimos que não passa de 8 casas no total. Em seguida, incluímos x3=1 e tentamos x1+x2+1=9; isso falha na restrição de tijolos.
Passo 6
Testamos
que satisfaz exatamente todas as restrições e dá (4+3+2=9] casas.
Passo 7
Verificamos que não é possível superar 9 casas (qualquer tentativa de 10 viola ao menos uma restrição). Logo a solução inteira ótima é
(x1,x2,x3) = (4,,3,,2)
Resposta
4 casas do projeto 1, 3 casas do projeto 2 e 2 casas do projeto 3.