Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Agora, resolva efetivamente o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você me passou. A gente está lidando com um sistema linear, que é basicamente um conjunto de equações que a gente precisa resolver juntas para encontrar os valores das variáveis envolvidas. Aqui, temos quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Para resolver isso, vamos usar eliminação, que é uma técnica para simplificar o sistema passo a passo até conseguirmos descobrir os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações para facilitar:
x + 2y - w = 2 (1) x + 2z - w = 2 (2) x + 2y + 2z - w = 4 (3) 3x + 4y + 4z - 3w = 8 (4)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Observando as equações (1) e (2), notamos que ambas têm (x + 2y - w) - (x + 2z - w) = 2 - 2 x - x + 2y - 2z - w + w = 0 2y - 2z = 0 2(y - z) = 0 y - z = 0 Rightarrow y = z (5) e com os mesmos coeficientes. Então, subtraindo a equação (2) da equação (1), conseguimos eliminar e :

Passo 4

Agora, sabemos que x + 2y + 2z - w = 4 x + 2y + 2y - w = 4 (substituindo z = y) x + 4y - w = 4 (6) a partir da equação (5). Vamos usar isso na equação (3):

Passo 5

Vamos comparar a equação (6) com a equação (1):
x + 2y - w = 2 (1) x + 4y - w = 4 (6)
Subtraindo a equação (1) da equação (6):
(x + 4y - w) - (x + 2y - w) = 4 - 2 x - x + 4y - 2y - w + w = 2 2y = 2 y = 1 Rightarrow y = 1

Passo 6

Já que z = 1 e (da equação 5), então:

Passo 7

Agora, vamos usar x + 2y - w = 2 x + 2(1) - w = 2 x + 2 - w = 2 x - w = 0 Rightarrow x = w (7) e na equação (1) para encontrar e :

Passo 8

Vamos usar 3x + 4y + 4z - 3w = 8 3w + 4(1) + 4(1) - 3w = 8 (substituindo x = w) 3w - 3w + 4 + 4 = 8 0 + 8 = 8 8 = 8 (confirmação) , e na equação (4):
çã
Isso confirma que nossas soluções até agora estão corretas, mas precisamos de mais uma equação para encontrar o valor específico de e .

Passo 9

Voltando à equação (7), onde x + 2(1) - w = 2 x + 2 - x = 2 (substituindo w = x) 2 = 2 , e já sabemos que todas as outras variáveis estão definidas, podemos escolher um valor para que satisfaça as equações. Observando a equação (1):
Isso significa que pode ser qualquer valor real, desde que . Porém, para que o sistema tenha uma única solução, precisamos verificar se há alguma restrição adicional. Parece que as equações são dependentes e que há infinitas soluções onde , , e .

Resposta

As soluções do sistema são todas as quadruplas onde boxed x = w y = 1 z = 1 w é qualquer número real , , e . Ou seja:
éú

Exercícios relacionados