Dado o sistema definido pelas Eqs. (3.74), obtenha a funçāo de transferência T(s)=Y(s) / U(s), em que U(s) é a entrada e Y(s) é a saída.
PROBLEMA: Converta as equações de estado e de saída mostradas nas Eqs. (3.78) em uma função de transferência.
\begin{gathered} \mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc} -4 & -1,5 \\\\ 4 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}+\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \end{array}\right] u(t) \\\ y=\left[\begin{array}{ll} 1,5 & 0,625 \end{array}\right] \mathbf{x} \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a função de transferência T(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} a partir do sistema de equações de estado/saída dado.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
\begin{gathered} \mathbf{x}'(t)=\underbrace{\begin{pmatrix}-4 & -1,5 \\[4pt] 4 & 0\end{pmatrix}}_{A}\mathbf{x}(t)+\underbrace{\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 0\end{pmatrix}}_{B}u(t)\\[6pt] y(t)=\underbrace{\begin{pmatrix}1,5 & 0,625\end{pmatrix}}_{C}\mathbf{x}(t)+\underbrace{0}_{D}u(t) \end{gathered}
Resumo das matrizes/coeficientes dados:
A=\begin{pmatrix}-4 & -1,5 \\[4pt] 4 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1,5 & 0,625\end{pmatrix},\quad D=0.]

Passo 2

Fórmula que usamos (explicação didática): a função de transferência de um sistema no formato de espaço de estados \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+B u, y=C\mathbf{x}+D u é dada por
T(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = C\,(sI-A)^{-1}B + D.
O que isso significa (passo a passo): transformamos por Laplace as equações de estado (com condições iniciais nulas), obtendo (sI-A)X(s)=B U(s). Então X(s)=(sI-A)^{-1}B U(s). Substituindo em Y(s)=C X(s)+D U(s) obtemos Y(s) = \big(C(sI-A)^{-1}B + D\big) U(s). Portanto T(s) é justamente C(sI-A)^{-1}B+D. Aqui s é a variável complexa do domínio de Laplace e I é a matriz identidade 2\times2.

Passo 3

Formamos a matriz (sI-A). A identidade I é \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, então
sI-A = \begin{pmatrix}s & 0\\[4pt] 0 & s\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4 & -1,5\\[4pt] 4 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s+4 & 1,5\\[4pt] -4 & s\end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular o determinante de (sI-A), necessário para a inversa (método da adjunta). Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} temos \det = ad-bc. Aqui:
\det(sI-A) = (s+4)\cdot s - (1,5)\cdot(-4).
Calculemos cada termo: (s+4)\cdot s = s^2 + 4s. E (1,5)\cdot(-4) = -6. Subtraindo:
\det(sI-A) = s^2 + 4s - (-6) = s^2 + 4s + 6.

Passo 5

Calculemos a matriz adjunta (aquela que troca diagonais e troca sinal dos off-diagonais) para obter a inversa. Para \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} a adjunta é \begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando em (sI-A):
\operatorname{adj}(sI-A) = \begin{pmatrix}s & -1,5\\[4pt] 4 & s+4\end{pmatrix}.
Logo a inversa é
(sI-A)^{-1} = \frac{1}{s^2 + 4s + 6}\begin{pmatrix}s & -1,5\\[4pt] 4 & s+4\end{pmatrix}.
Explicando: dividimos cada entrada da adjunta pelo determinante obtido no passo anterior.]

Passo 6

Multiplicamos (sI-A)^{-1} por B. Primeiro a multiplicação da matriz adjunta por B:
\begin{pmatrix}s & -1,5\\[4pt] 4 & s+4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt] 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2s + (-1,5)\cdot 0\\[4pt] 4\cdot 2 + (s+4)\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2s\\[4pt] 8\end{pmatrix}.
Como havia o fator 1/(s^2+4s+6) da inversa, temos
(sI-A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+4s+6}\begin{pmatrix}2s\\[4pt] 8\end{pmatrix}.
Interpretação: essa é a transformação de U(s) para X(s) (exceto pelo U(s) que ainda multiplica), mas aqui estamos apenas calculando a parte matricial (sI-A)^{-1}B.]

Passo 7

Agora multiplicamos por C para obter C(sI-A)^{-1}B. Fazendo o produto linha-por-coluna:
C\begin{pmatrix}2s\\[4pt] 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,5 & 0,625\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2s\\[4pt] 8\end{pmatrix} =1,5\cdot 2s + 0,625\cdot 8.
Calculemos os termos: 1,5\cdot 2s = 3s. E 0,625\cdot 8 = 5. Portanto
C\begin{pmatrix}2s\\[4pt] 8\end{pmatrix} = 3s + 5.
Lembrando o denominador do passo anterior, obtemos
C(sI-A)^{-1}B = \frac{3s+5}{s^2 + 4s + 6}.
Como D=0, não há termo adicional.]

Passo 8

Interpretando o resultado: a função de transferência T(s) é a expressão obtida no passo anterior. O numerador 3s+5 representa o polinômio que dá zeros do sistema (se existirem), e o denominador s^2+4s+6 é o polinômio característico que dá os polos do sistema. Essas informações servem, por exemplo, para analisar estabilidade e resposta em frequência, mas aqui a tarefa era obter T(s).

Resposta

T(s)=\frac{3s+5}{s^{2}+4s+6}

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