Dado o sistema definido pelas Eqs. (3.74), obtenha a funçāo de transferência T(s)=Y(s) / U(s), em que U(s) é a entrada e Y(s) é a saída.
PROBLEMA: Converta as equações de estado e de saída mostradas nas Eqs. (3.78) em uma função de transferência.
O que o enunciado pede: obter a função de transferência T(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} a partir do sistema de equações de estado/saída dado.
Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
Fórmula que usamos (explicação didática): a função de transferência de um sistema no formato de espaço de estados \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+B u, y=C\mathbf{x}+D u é dada por
T(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = C\,(sI-A)^{-1}B + D.
O que isso significa (passo a passo): transformamos por Laplace as equações de estado (com condições iniciais nulas), obtendo (sI-A)X(s)=B U(s). Então X(s)=(sI-A)^{-1}B U(s). Substituindo em Y(s)=C X(s)+D U(s) obtemos Y(s) = \big(C(sI-A)^{-1}B + D\big) U(s). Portanto T(s) é justamente C(sI-A)^{-1}B+D. Aqui s é a variável complexa do domínio de Laplace e I é a matriz identidade 2\times2.
Passo 3
Formamos a matriz (sI-A). A identidade I é \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, então
Vamos calcular o determinante de (sI-A), necessário para a inversa (método da adjunta). Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} temos \det = ad-bc. Aqui:
\det(sI-A) = (s+4)\cdot s - (1,5)\cdot(-4).
Calculemos cada termo: (s+4)\cdot s = s^2 + 4s. E (1,5)\cdot(-4) = -6. Subtraindo:
\det(sI-A) = s^2 + 4s - (-6) = s^2 + 4s + 6.
Passo 5
Calculemos a matriz adjunta (aquela que troca diagonais e troca sinal dos off-diagonais) para obter a inversa. Para \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} a adjunta é \begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando em (sI-A):
Interpretação: essa é a transformação de U(s) para X(s) (exceto pelo U(s) que ainda multiplica), mas aqui estamos apenas calculando a parte matricial (sI-A)^{-1}B.]
Passo 7
Agora multiplicamos por C para obter C(sI-A)^{-1}B. Fazendo o produto linha-por-coluna:
Lembrando o denominador do passo anterior, obtemos
C(sI-A)^{-1}B = \frac{3s+5}{s^2 + 4s + 6}.
Como D=0, não há termo adicional.]
Passo 8
Interpretando o resultado: a função de transferência T(s) é a expressão obtida no passo anterior. O numerador 3s+5 representa o polinômio que dá zeros do sistema (se existirem), e o denominador s^2+4s+6 é o polinômio característico que dá os polos do sistema. Essas informações servem, por exemplo, para analisar estabilidade e resposta em frequência, mas aqui a tarefa era obter T(s).