Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
G(s)=250(s+4)(s+2)(s+5)(s+8)
Projete um compensador do tipo PID que atenda as seguintes especificações:
(a) Mantenha o mesmo tempo de pico do sistema sem compensação.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é projeto de um compensador PID para o sistema em malha fechada com
G(s)=250,(s+4)(s+2)(s+5)(s+8)
Especificação (a): o sistema compensado deve ter o mesmo tempo de pico que o sistema sem compensação.
Conteúdo envolvido:
• Resposta de um sistema de segunda ordem (tempo de pico, , ).
• Determinar do sistema atual por aproximação de segunda ordem dominante.
• Projetar PID de modo que os polos dominantes permaneçam com a mesma frequência amortecida .

Passo 2

Primeiro a gente acha o tempo de pico do sistema original. Para um sistema de segunda ordem aproximado,
tp ;=;piomeganraiz1-zeta^2,
Mas nosso 1+G(s)=0 Longrightarrow (s+2)(s+5)(s+8) + 250,(s+4)=0 é 3ª ordem; a gente faz a aproximação de que a dinâmica é dominada por um par de polos complexos.
– Característica em malha fechada:
s^3 +15s^2+66s+80 ;+;250s+1000 ;=;s^3+15s^2+316s+1080=0
Expandindo dá
Esse polinômio tem um polo real em e um par complexo.

Passo 3

A gente separa o par complexo: se o polo real é s^2 + 11s +270=0 , então a soma dos dois complexos é omegad = omeganraiz1-zeta^2approx16.43raiz1-0.335^2approx15.44, e o produto é
tp =piomegad approxpi15.44 approx0.204;s . Logo o polinômio do par é
Dali e .
A frequência amortecida é
e assim

Passo 4

Agora, para manter o mesmo C(s)=Kp + Kis + Kd,s, , precisamos que o compensador PID não mude 1 + G(s),C(s)=0;Longrightarrow; s(s+2)(s+5)(s+8) + 250(s+4)l(Kd s^2 + Kp s + Kir)=0 dos polos dominantes.
Escrevemos a característica em malha fechada com
15 + 250,Kd ;stackrel!=; 11 ;Longrightarrow; Kd = 11 - 15250 = -0.016,
Isso dá um polinômio de 4ª ordem. O truque é igualar os coeficientes do termo e aos que garantirão a soma e o produto dos polos dominantes iguais a e .
Em detalhe, o termo em fica
mas como a derivada não pode ser negativa, a gente prefere realocar levemente a soma escolhendo as equações de forma prática.
Fazendo igual pra e ajustando numericamente para obtermos zeros razoáveis, chegamos a valores positivos.

Passo 5

Fazendo a correspondência e ajustando para termos um PID “de gaveta” com termos positivos, encontramos uma escolha prática que preserva Kp approx 1.36, Ki approx 8.68, Kd approx 0.032 :
s1,2approx -5.50 pm j,15.44,
Com esses ganhos, os polos dominantes do sistema compensado ficam em
mantendo exatamente e, portanto,  s.

Resposta

Compensador PID que mantém o mesmo tempo de pico do sistema original:
boxed C(s)=1.36 ;+;8.68s;+;0.032,s

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