Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
Projete um compensador do tipo PID que atenda as seguintes especificações:
(a) Mantenha o mesmo tempo de pico do sistema sem compensação.
Projete um compensador do tipo PID que atenda as seguintes especificações:
(a) Mantenha o mesmo tempo de pico do sistema sem compensação.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão é projeto de um compensador PID para o sistema em malha fechada com
Especificação (a): o sistema compensado deve ter o mesmo tempo de pico
Conteúdo envolvido:
• Resposta de um sistema de segunda ordem (tempo de pico,
• Determinar
• Projetar PID de modo que os polos dominantes permaneçam com a mesma frequência amortecida
Passo 2
Primeiro a gente acha o tempo de pico do sistema original. Para um sistema de segunda ordem aproximado,
Mas nosso
é 3ª ordem; a gente faz a aproximação de que a dinâmica é dominada por um par de polos complexos.
– Característica em malha fechada:
Expandindo dá
Esse polinômio tem um polo real em
e um par complexo.
Passo 3
A gente separa o par complexo: se o polo real é
, então a soma dos dois complexos é
e o produto é
. Logo o polinômio do par é
Dali
e
.
A frequência amortecida é
A frequência amortecida é
e assim
Passo 4
Agora, para manter o mesmo
, precisamos que o compensador PID não mude
dos polos dominantes.
Escrevemos a característica em malha fechada com
Escrevemos a característica em malha fechada com
Isso dá um polinômio de 4ª ordem. O truque é igualar os coeficientes do termo
e
aos que garantirão a soma e o produto dos polos dominantes iguais a
e
.
Em detalhe, o termo em
fica
mas como a derivada não pode ser negativa, a gente prefere realocar levemente a soma escolhendo as equações de forma prática.
Fazendo igual pra e ajustando numericamente para obtermos zeros razoáveis, chegamos a valores positivos.
Fazendo igual pra
Passo 5
Fazendo a correspondência e ajustando para termos um PID “de gaveta” com termos positivos, encontramos uma escolha prática que preserva
:
Com esses ganhos, os polos dominantes do sistema compensado ficam em
mantendo exatamente
e, portanto,
s.
Resposta
Compensador PID que mantém o mesmo tempo de pico do sistema original: