Resolva as equações a seguir:
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Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra resolver a recorrência linear e homogênea de segunda ordem
Conteúdo: recorrências lineares de coeficientes constantes.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A ideia de transformar a recorrência numa equação característica.
- Solucionar essa equação para achar as raízes.
- Combinar as raízes pra montar a solução geral.
Passo 2
Transformar em equação característica significa substituir
por
.
Fazendo isso:
Fazendo isso:
Como
(a menos que a solução seja trivial), dividimos por
e obtemos:
Isso aí é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora resolvemos
Para achar as raízes desse polinômio, fatoramos ou usamos a fórmula de Bhaskara. Aqui dá pra fatorar fácil:
Logo as raízes são
Passo 4
Como a recorrência é linear e homogênea e as raízes
e
são distintas, a solução geral é combinação linear dessas potências:
onde
e
são constantes que você determinaria a partir de condições iniciais (por exemplo,
e
, se viessem no enunciado).
Resposta
sendo
e
constantes fixadas pelas condições iniciais.