Resolva as equações a seguir:
xn+2+5 xn+1+6 xn=0.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra resolver a recorrência linear e homogênea de segunda ordem
xn+2 + 5,xn+1 + 6,xn = 0
Conteúdo: recorrências lineares de coeficientes constantes.
O que vamos usar:
  1. A ideia de transformar a recorrência numa equação característica.
  2. Solucionar essa equação para achar as raízes.
  3. Combinar as raízes pra montar a solução geral.

Passo 2

Transformar em equação característica significa substituir r^n+2 + 5,r^n+1 + 6,r^n = 0 por r^2 + 5r + 6 = 0.
Fazendo isso:
Como (a menos que a solução seja trivial), dividimos por e obtemos:
Isso aí é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora resolvemos
r^2 + 5r + 6 = 0
Para achar as raízes desse polinômio, fatoramos ou usamos a fórmula de Bhaskara. Aqui dá pra fatorar fácil:
r^2 + 5r + 6 = (r+2)(r+3) = 0
Logo as raízes são
r1 = -2, r2 = -3

Passo 4

Como a recorrência é linear e homogênea e as raízes xn = A,(r1)^n + B,(r2)^n = A,(-2)^n + B,(-3)^n, e são distintas, a solução geral é combinação linear dessas potências:
onde e são constantes que você determinaria a partir de condições iniciais (por exemplo, e , se viessem no enunciado).

Resposta

boxedxn = A,(-2)^n + B,(-3)^n,
sendo e constantes fixadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados