Dado o sistema de equações diferenciais, linear e não-homogêneo,
ccc x1^prime & = & 2 x2+1 x2^prime & = & -2 x1+sen(t)
Esboce o campo de direções do sistema homogêneo associado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais não-homogêneo e quer que a gente esboce o campo de direções para o sistema homogêneo associado. Então, primeiro, vamos entender do que estamos falando e o que precisamos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o sistema original que você deu:
ccc x1^prime & = & 2 x2 + 1 x2^prime & = & -2 x1 + sen(t)
Esse é um sistema linear não-homogêneo porque tem termos independentes (o “+1” e o “sen(t)”). Para encontrar o sistema homogêneo associado, a gente vai eliminar esses termos independentes, ou seja, deixar apenas as partes que dependem de e .

Passo 3

Então, o sistema homogêneo associado fica assim:
ccc x1^prime & = & 2 x2 x2^prime & = & -2 x1

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o que é um campo de direções. É basicamente um gráfico onde em cada ponto temos uma seta que indica a direção do vetor solução naquele ponto. Isso ajuda a visualizar como as soluções do sistema se comportam no espaço.

Passo 5

Para esboçar o campo de direções, vamos precisar entender as relações entre e no sistema homogêneo. Vamos observar que:
Isso nos dá informações sobre como e mudam em relação ao tempo .

Passo 6

Vamos calcular a inclinação das setas no campo de direções. A inclinação m = x2^primex1^prime = -2x12x2 = -x1x2 em cada ponto é dada por:
Então, a inclinação depende da razão entre e naquele ponto.

Passo 7

Para alguns pontos específicos, vamos calcular a inclinação:
  • Ponto (1, 1):
    m = -11 = -1
  • Ponto (1, -1):
    m = -1-1 = 1
  • Ponto (0, 1):
    m = -01 = 0
  • Ponto (1, 0):
    Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que a inclinação é vertical (infinita).

Passo 8

Com essas inclinações, podemos desenhar setas em cada um desses pontos representando a direção das soluções. Por exemplo:
  • No ponto (1,1), a seta tem inclinação -1.
  • No ponto (1,-1), a seta tem inclinação 1.
  • No ponto (0,1), a seta é horizontal.
  • No ponto (1,0), a seta é vertical.
Repetindo esse processo para vários pontos, conseguimos visualizar como as setas se organizam no plano.

Passo 9

Observando as inclinações calculadas, percebemos que o sistema homogêneo tem um comportamento oscilatório, similar a um movimento circular. Isso acontece porque as equações descrevem um sistema conservativo onde a energia é mantida, resultando em trajetórias fechadas no campo de direções.

Resposta

O campo de direções do sistema homogêneo associado é um conjunto de setas distribuídas no plano que formam círculos concêntricos ao redor da origem, indicando um comportamento oscilatório das soluções. As setas têm inclinações que variam conforme , resultando em trajetórias circulares no campo de direções.

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