Dado o sistema de equações diferenciais, linear e não-homogêneo,
Esboce o campo de direções do sistema homogêneo associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais não-homogêneo e quer que a gente esboce o campo de direções para o sistema homogêneo associado. Então, primeiro, vamos entender do que estamos falando e o que precisamos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o sistema original que você deu:
Esse é um sistema linear não-homogêneo porque tem termos independentes (o “+1” e o “sen(t)”). Para encontrar o sistema homogêneo associado, a gente vai eliminar esses termos independentes, ou seja, deixar apenas as partes que dependem de
e
.
Passo 3
Então, o sistema homogêneo associado fica assim:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o que é um campo de direções. É basicamente um gráfico onde em cada ponto
temos uma seta que indica a direção do vetor solução naquele ponto. Isso ajuda a visualizar como as soluções do sistema se comportam no espaço.
Passo 5
Para esboçar o campo de direções, vamos precisar entender as relações entre
e
no sistema homogêneo. Vamos observar que:
Isso nos dá informações sobre como
e
mudam em relação ao tempo
.
Passo 6
Vamos calcular a inclinação das setas no campo de direções. A inclinação
em cada ponto
é dada por:
Então, a inclinação depende da razão entre
e
naquele ponto.
Passo 7
Para alguns pontos específicos, vamos calcular a inclinação:
-
Ponto (1, 1):
-
Ponto (1, -1):
-
Ponto (0, 1):
-
Ponto (1, 0):
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que a inclinação é vertical (infinita).
Passo 8
Com essas inclinações, podemos desenhar setas em cada um desses pontos representando a direção das soluções. Por exemplo:
- No ponto (1,1), a seta tem inclinação -1.
- No ponto (1,-1), a seta tem inclinação 1.
- No ponto (0,1), a seta é horizontal.
- No ponto (1,0), a seta é vertical.
Repetindo esse processo para vários pontos, conseguimos visualizar como as setas se organizam no plano.
Passo 9
Observando as inclinações calculadas, percebemos que o sistema homogêneo tem um comportamento oscilatório, similar a um movimento circular. Isso acontece porque as equações descrevem um sistema conservativo onde a energia é mantida, resultando em trajetórias fechadas no campo de direções.
Resposta
O campo de direções do sistema homogêneo associado é um conjunto de setas distribuídas no plano
que formam círculos concêntricos ao redor da origem, indicando um comportamento oscilatório das soluções. As setas têm inclinações que variam conforme
, resultando em trajetórias circulares no campo de direções.