(b) Seja w uma função diferenciável de x1, x2, x3 e x4 e seja cada xi uma função diferenciável de v1, v2 e v3. Encontre as fórmulas da regra da cadeia para partial w / partial v1, partial w / partial v2 e partial w / partial v3.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável w=w(x1,x2,x3,x4) e que cada xi depende diferenciavelmente das variáveis v1,v2,v3. Pedem as fórmulas para as derivadas parciais partial w/partial vj para j=1,2,3.

Passo 2

Para resolver, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se w=w(x1,dots,xn) e cada xi=xi(v1,dots,vm), então

Passo 3

partial wpartial vj=sumi=1^npartial wpartial xipartial xipartial vj,

Passo 4

Aplicando ao nosso caso com n=4 e m=3, obtemos as fórmulas pedidas para j=1,2,3.

Resposta

partial wpartial v1=partial wpartial x1partial x1partial v1+partial wpartial x2partial x2partial v1+partial wpartial x3partial x3partial v1+partial wpartial x4partial x4partial v1, partial wpartial v2=partial wpartial x1partial x1partial v2+partial wpartial x2partial x2partial v2+partial wpartial x3partial x3partial v2+partial wpartial x4partial x4partial v2, partial wpartial v3=partial wpartial x1partial x1partial v3+partial wpartial x2partial x2partial v3+partial wpartial x3partial x3partial v3+partial wpartial x4partial x4partial v3

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