Dado o sistema de equações lineares S_{3} : \left\{\begin{array}{c}3 x+5 y+12 z-w=-3 \\\ x+y+4 z-w=-6 \\\\ 2 y+2 z+w=5\end{array}\right..
Acrescente a equação 2 z+\lambda w=9 a este sistema, encontre um valor de \lambda \in \mathbb{R} que torne o sistema S_{1} incompartível.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Sistema inicial S_{3}\) com incógnitas \(x,y,z,w\):
\[\begin{cases} 3x+5y+12z-w=-3\\[4pt] x+y+4z-w=-6\\[4pt] 2y+2z+w=5 \end{cases}
Acrescenta-se a equação
2z+\lambda w=9,
formando um novo sistema (vou chamar de S_{1}\] como no enunciado).
- Pergunta: encontre um valor de \(\lambda\in\mathbb{R} tal que o sistema S_{1} seja incompátivel (ou seja, sem solução).]
Passo 2
Estratégia: primeiro resolver (ou parametrizar) o sistema S_{3} para ver a família de soluções que ele permite; depois impor a nova equação e verificar para que \lambda ela entra em contradição com as soluções de S_{3}.
Começo isolando x pela segunda equação. Da equação
x+y+4z-w=-6
temos
x = -y -4z + w -6.
Passo 3
Substituo esse x na primeira equação para eliminar x. A primeira equação é
3x+5y+12z-w=-3.
Substituindo x obtemos
3(-y-4z+w-6)+5y+12z-w=-3.
Faço a distribuição e somo termos semelhantes:
-3y-12z+3w-18+5y+12z-w=-3.
Agrupando:
(-3y+5y) + (-12z+12z) + (3w-w) -18 = -3,
ou seja
2y + 2w -18 = -3.
Passo o -18 para o outro lado:
2y + 2w = 15,
e dividindo por 2:
y + w = \tfrac{15}{2}.
Passo 4
Agora uso a terceira equação do sistema S_{3}:
2y+2z+w=5.
É conveniente eliminar w usando y+w=\tfrac{15}{2}. Daí
w = \tfrac{15}{2} - y.
Substituo em 2y+2z+w=5:
2y+2z+\left(\tfrac{15}{2}-y\right)=5.
Simplificando:
(2y-y)+2z+\tfrac{15}{2}=5
y + 2z = 5 - \tfrac{15}{2}.
Calculo 5-\tfrac{15}{2} = \tfrac{10}{2}-\tfrac{15}{2} = -\tfrac{5}{2}. Logo
Resumo da solução geral de S_{3}: ela forma uma família com parâmetro z. Escrevendo com z livre,
x = \tfrac{13}{2},\qquad y = -\tfrac{5}{2}-2z,\qquad w = 10+2z,\qquad z\\ \text{livre}.
Isto significa que qualquer quádrupla dessas forma uma solução de S_{3}.
Passo 8
Agora imponho a nova equação
2z+\lambda w=9
substituindo w=10+2z (essa w veio da solução geral de S_{3}). Isso dá:
2z + \lambda(10+2z) = 9.
Faço a distributiva:
2z + 10\lambda + 2\lambda z = 9.
Agrupando os termos em z:
(2 + 2\lambda)z + 10\lambda = 9.
Posso escrever o fator comum 2:
2(1+\lambda)z + 10\lambda = 9.
Passo 9
Analiso os dois casos que surgem desta equação para ver quando ela é impossível (contradição).
Caso 1: 1+\lambda \neq 0 (ou seja, \lambda \neq -1). Então o coeficiente de z é diferente de zero e é possível resolver para z:
z = \dfrac{9-10\lambda}{2(1+\lambda)}.
Isso dá um valor de z que combina com as fórmulas já obtidas para x,y,w, logo existe solução — o sistema é compatível.
Caso 2: 1+\lambda = 0, isto é \lambda = -1. Então o termo com z desaparece e a equação fica apenas
10\lambda = 9.
Para \lambda = -1 isso é
10(-1)=9 \quad\Longrightarrow\quad -10=9,
que é absurdo (contradição). Isso significa que, quando \lambda=-1, a nova equação não pode ser satisfeita por nenhum z que venha da solução de S_{3} — então o sistema S_{1} não tem solução (é incompátivel).