Determine os valores de \lambda \in \mathbb{R} para que o sistema abaixo S_{4}:\left\{\begin{array}{c}x+y+\lambda z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=\lambda \\\\ 2 x+3 y-z=1\end{array}\right. tenham:
(i) solução única;
(ii) nenhuma solução;
(iii) mais de uma solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear S_{4}\):
\[\begin{cases} x+y+\lambda z=2\\[4pt] 3x+4y+2z=\lambda\\[4pt] 2x+3y-z=1 \end{cases}
E pede para determinar os valores de (\lambda\in\mathbb{R}] para que o sistema tenha:
(i) solução única;
(ii) nenhuma solução;
(iii) mais de uma solução.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as três equações acima (com \lambda aparecendo na primeira equação como coeficiente de z e na segunda como termo independente). A partir disso teremos que analisar a matriz dos coeficientes e a possibilidade de dependência linear entre as equações.]
Passo 2
Estruturar a matriz dos coeficientes A e o vetor ampliado (matriz aumentada). A matriz dos coeficientes é
Agora R_3 é igual a R_2, portanto há apenas duas linhas independentes não nulas. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e \operatorname{rank}(\tilde A)=2. Como os dois postos são iguais e menores que 3, o sistema é compatível indeterminado: tem infinitas soluções (mais de uma).]
Passo 6
Encontrar a forma das soluções quando \lambda=3\) (útil para a prova: mostrar explicitamente a família de soluções). A partir das linhas não redundantes:
\[\begin{cases} x+y+3z=2,\\[4pt] y-7z=-3. \end{cases}
Da segunda equação: \;y=7z-3.\] Substituindo na primeira:
\[x+(7z-3)+3z=2 \quad\Rightarrow\quad x+10z-3=2 \quad\Rightarrow\quad x=5-10z.\]
Tomando parâmetro \(t=z\in\mathbb{R}, a família de soluções é
(x,y,z)=(5-10t,\;7t-3,\;t),\qquad t\in\mathbb{R},
confirmando que existem infinitas soluções para \lambda=3.]
Passo 7
Resumo lógico-final (respostas do enunciado):
Para \lambda\neq 3: \det(A)\neq 0\Rightarrow solução única.
Para \lambda=3: \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(\tilde A)=2\Rightarrow infinitas soluções (mais de uma).
Não existe nenhum valor de \lambda\in\mathbb{R} que torne o sistema incompatível (nenhuma solução), pois o único valor que anula o determinante é \lambda=3 e esse caso é compatível.
Resposta
(i) \lambda\neq 3
(ii) nenhum \lambda\in\mathbb{R}
(iii) \lambda=3