Determine os valores de \lambda \in \mathbb{R} para que o sistema abaixo S_{4}:\left\{\begin{array}{c}x+y+\lambda z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=\lambda \\\\ 2 x+3 y-z=1\end{array}\right. tenham:
(i) solução única;
(ii) nenhuma solução;
(iii) mais de uma solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear S_{4}\): \[\begin{cases} x+y+\lambda z=2\\[4pt] 3x+4y+2z=\lambda\\[4pt] 2x+3y-z=1 \end{cases}
E pede para determinar os valores de (\lambda\in\mathbb{R}] para que o sistema tenha:
(i) solução única;
(ii) nenhuma solução;
(iii) mais de uma solução.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as três equações acima (com \lambda aparecendo na primeira equação como coeficiente de z e na segunda como termo independente). A partir disso teremos que analisar a matriz dos coeficientes e a possibilidade de dependência linear entre as equações.]

Passo 2

Estruturar a matriz dos coeficientes A e o vetor ampliado (matriz aumentada). A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda\\[4pt] 3 & 4 & 2\\[4pt] 2 & 3 & -1 \end{pmatrix},
e a matriz aumentada é
\tilde A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda & 2\\[4pt] 3 & 4 & 2 & \lambda\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Vou lembrar um fato crucial (teoria necessária para a prova), explicado de forma simples:
  • Se \det(A)\neq 0, então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (única).
  • Se \det(A)=0, então as equações não são linearmente independentes; nesse caso é preciso comparar o posto (rank) de A com o posto de \tilde A:
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(\tilde A)=r<3, o sistema é compatível e terá infinitas soluções (mais de uma).
    • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(\tilde A), o sistema é incompatível e não tem solução.
Portanto, primeiro calculamos \det(A); se for não-nulo, fechamos (solução única). Se for zero, fazemos operações elementares para comparar postos.]

Passo 3

Calcular \det(A). Faço expansão por cofatores na primeira linha (ou simplesmente aplicar a fórmula):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix} +\lambda\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}=4\cdot(-1)-2\cdot3=-4-6=-10,
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)-2\cdot2=-3-4=-7,
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-4\cdot2=9-8=1.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot(-10)-1\cdot(-7)+\lambda\cdot 1 = -10+7+\lambda = \lambda-3.]

Passo 4

Interpretação imediata do resultado:
  • Se \lambda-3\neq 0, isto é, \lambda\neq 3, então \det(A)\neq 0 e pelo teorema citado o sistema tem solução única.
  • Resta analisar o caso \lambda=3, onde \det(A)=0. Nesse caso o sistema pode ser ou incompatível ou ter infinitas soluções; precisamos comparar postos.

Passo 5

Estudar o caso \lambda=3\). Substituindo \(\lambda=3\) no sistema obtemos \[\begin{cases} x+y+3z=2\\[4pt] 3x+4y+2z=3\\[4pt] 2x+3y-z=1. \end{cases}
Faço eliminação por linhas (operações elementares) na matriz aumentada correspondente:
\tilde A|_{\lambda=3}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 4 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Operações: R_2\leftarrow R_2-3R_1\] e \(R_3\leftarrow R_3-2R_1.
  • Para R_2-3R_1: (3,4,2,3)-3(1,1,3,2)=(0,1,-7,-3).
  • Para R_3-2R_1: (2,3,-1,1)-2(1,1,3,2)=(0,1,-7,-3).
Depois dessas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -7 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -7 & -3 \end{pmatrix}.
Agora R_3 é igual a R_2, portanto há apenas duas linhas independentes não nulas. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e \operatorname{rank}(\tilde A)=2. Como os dois postos são iguais e menores que 3, o sistema é compatível indeterminado: tem infinitas soluções (mais de uma).]

Passo 6

Encontrar a forma das soluções quando \lambda=3\) (útil para a prova: mostrar explicitamente a família de soluções). A partir das linhas não redundantes: \[\begin{cases} x+y+3z=2,\\[4pt] y-7z=-3. \end{cases}
Da segunda equação: \;y=7z-3.\] Substituindo na primeira: \[x+(7z-3)+3z=2 \quad\Rightarrow\quad x+10z-3=2 \quad\Rightarrow\quad x=5-10z.\] Tomando parâmetro \(t=z\in\mathbb{R}, a família de soluções é
(x,y,z)=(5-10t,\;7t-3,\;t),\qquad t\in\mathbb{R},
confirmando que existem infinitas soluções para \lambda=3.]

Passo 7

Resumo lógico-final (respostas do enunciado):
  • Para \lambda\neq 3: \det(A)\neq 0 \Rightarrow solução única.
  • Para \lambda=3: \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(\tilde A)=2 \Rightarrow infinitas soluções (mais de uma).
  • Não existe nenhum valor de \lambda\in\mathbb{R} que torne o sistema incompatível (nenhuma solução), pois o único valor que anula o determinante é \lambda=3 e esse caso é compatível.

Resposta

(i) \lambda\neq 3
(ii) nenhum \lambda\in\mathbb{R}
(iii) \lambda=3

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