Dado o sistema de equações lineares S_{3} : \left\{\begin{array}{c}3 x+5 y+12 z-w=-3 \\\ x+y+4 z-w=-6 \\\\ 2 y+2 z+w=5\end{array}\right..
Acrescente a equação 2 z+\lambda w=9 a este sistema, encontre um valor de \lambda \in \mathbb{R} que torne o sistema S_{3} incompartível.
Determine os valores de \lambda \in \mathbb{R} para que o sistema abaixo S_{4}:\left\{\begin{array}{c}x+y+\lambda z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=\lambda \\\\ 2 x+3 y-z=1\end{array}\right.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Pede-se: determinar os valores de \lambda\in\mathbb{R}\] (ou seja, classificar o sistema conforme \(\lambda).]
Passo 2
Resolvendo o sistema inicial S_{3} (as três primeiras equações) para ver a dependência entre variáveis — isto ajuda a ver quando a nova equação entra em conflito.
Vou eliminar x usando a equação (2). Multiplico (2) por 3 e subtraio de (1):
3\cdot(x+y+4z-w) = 3x+3y+12z-3w=-18.
Subtraindo de (1):
(3x+5y+12z-w) - (3x+3y+12z-3w) = -3 - (-18).
No lado esquerdo sobra 2y+2w; no direito 15. Logo:
onde z é parâmetro livre. Logo o sistema inicial (sem a nova equação) tem infinitas soluções (grau de liberdade 1).
Passo 5
Agora imponho a nova equação
2z+\lambda w=9,
e substituo w=10+2z:
2z+\lambda(10+2z)=9.
Distribuindo:
2z+10\lambda+2\lambda z=9.
Agrupando os termos em z:
(2+2\lambda)z+10\lambda=9.
Para a consistência dessa equação existem dois casos:
Se 2+2\lambda\neq0 (ou seja \lambda\neq-1), podemos isolar z e obter um valor consistente:
z=\dfrac{9-10\lambda}{2+2\lambda},
portanto o sistema completo tem solução (única escolha de z e daí x,y,w determinados).
Se 2+2\lambda=0 (ou seja \lambda=-1), o coeficiente de z some e a equação fica apenas
10\lambda=9.
Mas para \lambda=-1 isso é 10(-1)=9, ou seja -10=9, contradição. Então, para \lambda=-1 a nova equação é incompatível com as anteriores e não existe solução.
Portanto o valor que torna S_{3} incompatível é
\lambda=-1.
Passo 6
Agora passo a S_{4}. Primeiro escrevo a matriz de coeficientes (ordem x,y,z):
Uma maneira direta de avaliar quando o sistema tem solução única é calcular \det(A). Se \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única (compatível determinado). Se \det(A)=0 precisamos analisar consistência (ranks) para ver se é indeterminado (infinitas soluções) ou impossível.]
Passo 7
Calculo \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
Logo R3 é a mesma que R2. Então a matriz de coeficientes tem posto 2. O vetor de termos independentes também repete o mesmo valor (o lado direito -3 em ambas linhas), logo o posto ampliado é também 2. Assim posto(coeficientes) = posto(ampliada) = 2 < 3, isto é, sistema compatível indeterminado (infinitas soluções, 1 parâmetro livre).
Posso escrever a solução geral quando \lambda=3. Da linha y-7z=-3 temos
Para S_{3}: \lambda=-1 torna o sistema incompatível.
Para S_{4}: se \lambda\neq3 o sistema é compatível determinado (única solução); se \lambda=3 o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções). Não há \lambda que torne S_{4} incompatível.