Exibir, em
, três vetores LD que sejam dois a dois LI.
Passo 1
O enunciado pede que eu apresente três vetores em
que satisfaçam duas condições ao mesmo tempo:
- os três vetores, tomados juntos, sejam linearmente dependentes (LD);
- qualquer par desses vetores seja linearmente independente (ou seja, são dois a dois LI).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os vetores devem pertencer a
. - Há duas propriedades a verificar: dependência linear do conjunto de três vetores e independência linear de cada par.
Passo 2
Vou escolher vetores simples em
que facilitam os cálculos e a verificação. Uma escolha natural é pegar vetores que fiquem todos no plano
, pois aí fica claro que três vetores desse plano podem ser dependentes enquanto pares deles podem ser independentes. Escolho:
Passo 3
Relembrando o conceito necessário (explicação didática):
- Uma família de vetores
é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, isto é, se
implica
.
- Caso contrário (existam coeficientes não todos nulos que produzam
), os vetores são linearmente dependentes (LD).
Para pares de vetores esse critério simplifica: dois vetores são LI exatamente quando nenhum é múltiplo escalar do outro. Agora vamos verificar os pares.
Passo 4
Verificação de LI do par
.
Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Isto implica
e
. Como só existe a solução trivial, os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 5
Verificação de LI do par
.
Suponha que existam escalares
tais que
Isto é
Das coordenadas obtemos
e então
. Só a solução trivial existe, logo
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Verificação de LI do par
.
Suponha que existam
tais que
Isto é
Das coordenadas obtemos
e então
. Só a solução trivial existe, logo
e
são linearmente independentes.
Até aqui mostramos que cada par é LI, como o enunciado exige.
Passo 7
Agora vamos mostrar que os três vetores juntos são linearmente dependentes.
Basta encontrar coeficientes não todos nulos
tais que
Experimente
. Calculando:
Os coeficientes
não são todos nulos e produzem o vetor nulo, portanto
é linearmente dependente.
Comentário intuitivo:
é a soma de
e
, por isso fica dependente quando os três são considerados juntos, embora cada par não seja múltiplos entre si.