Exibir, em \mathbf{R}^{3}, três vetores LD que sejam dois a dois LI.

Passo 1

O enunciado pede que eu apresente três vetores em \mathbf{R}^{3} que satisfaçam duas condições ao mesmo tempo:
  • os três vetores, tomados juntos, sejam linearmente dependentes (LD);
  • qualquer par desses vetores seja linearmente independente (ou seja, são dois a dois LI).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vetores devem pertencer a \mathbf{R}^{3}.
  • Há duas propriedades a verificar: dependência linear do conjunto de três vetores e independência linear de cada par.

Passo 2

Vou escolher vetores simples em \mathbf{R}^{3} que facilitam os cálculos e a verificação. Uma escolha natural é pegar vetores que fiquem todos no plano z=0, pois aí fica claro que três vetores desse plano podem ser dependentes enquanto pares deles podem ser independentes. Escolho:
\mathbf{v}_1=(1,0,0),\qquad \mathbf{v}_2=(0,1,0),\qquad \mathbf{v}_3=(1,1,0).

Passo 3

Relembrando o conceito necessário (explicação didática):
  • Uma família de vetores \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\dots,\mathbf{u}_k\} é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, isto é, se
a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2+\cdots+a_k\mathbf{u}_k=\mathbf{0}
implica a_1=a_2=\cdots=a_k=0.
  • Caso contrário (existam coeficientes não todos nulos que produzam \mathbf{0}), os vetores são linearmente dependentes (LD).
Para pares de vetores esse critério simplifica: dois vetores são LI exatamente quando nenhum é múltiplo escalar do outro. Agora vamos verificar os pares.

Passo 4

Verificação de LI do par \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}.
Suponha que existam escalares a,b tais que
a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2=\mathbf{0}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
a\,(1,0,0)+b\,(0,1,0)=(a,b,0)=(0,0,0).
Isto implica a=0 e b=0. Como só existe a solução trivial, os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são linearmente independentes.

Passo 5

Verificação de LI do par \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3\}.
Suponha que existam escalares a,b tais que
a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Isto é
a\,(1,0,0)+b\,(1,1,0)=(a+b,\;b,\;0)=(0,0,0).
Das coordenadas obtemos b=0 e então a+b=0\Rightarrow a=0. Só a solução trivial existe, logo \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3 são linearmente independentes.

Passo 6

Verificação de LI do par \{\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}.
Suponha que existam a,b tais que
a\mathbf{v}_2+b\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Isto é
a\,(0,1,0)+b\,(1,1,0)=(b,\;a+b,\;0)=(0,0,0).
Das coordenadas obtemos b=0 e então a+b=0\Rightarrow a=0. Só a solução trivial existe, logo \mathbf{v}_2 e \mathbf{v}_3 são linearmente independentes.
Até aqui mostramos que cada par é LI, como o enunciado exige.

Passo 7

Agora vamos mostrar que os três vetores juntos são linearmente dependentes.
Basta encontrar coeficientes não todos nulos c_1,c_2,c_3 tais que
c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}.
Experimente c_1=1,\;c_2=1,\;c_3=-1. Calculando:
1\cdot(1,0,0)+1\cdot(0,1,0)-1\cdot(1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)-(1,1,0)=(0,0,0).
Os coeficientes (1,1,-1) não são todos nulos e produzem o vetor nulo, portanto \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} é linearmente dependente.
Comentário intuitivo: \mathbf{v}_3 é a soma de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2, por isso fica dependente quando os três são considerados juntos, embora cada par não seja múltiplos entre si.

Resposta

\mathbf{v}_1=(1,0,0)
\mathbf{v}_2=(0,1,0)
\mathbf{v}_3=(1,1,0)

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