Quais os subconjuntos abaixo do mathbb{R}^{3} são linearmente independentes:
(b) \{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2)\}
Dica: Calcular determinante \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right|=3, o conjunto é L.I. ou escalonar a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right) \xrightarrow[L_{3}=L_{3}-L_{1}]{L_{2}=L_{2}-L_{1}}\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3\end{array}\right) \xrightarrow{L_{3}=L_{3}-L_{2}}\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -3\end{array}\right). O posto de A é 3 , o conjunto é L.I.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto de vetores \{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2)\}\subset\mathbb{R}^3 é linearmente independente.
Informações dadas:
v_{1}=(1,1,1)
v_{2}=(1,0,1)
v_{3}=(1,0,-2)
A pergunta é única: determinar se esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
Passo 2
Definição prática de linearmente independente que vamos usar (muito importante):
Os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0
é \alpha=\beta=\gamma=0.
Em termos de componentes, isso gera um sistema linear de três equações para \alpha,\beta,\gamma. Outra forma prática: colocar os vetores como linhas (ou colunas) de uma matriz A. Se \det(A)\neq 0, então as linhas (e também as colunas) são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos formar a matriz A cujas linhas são os vetores dados (seguindo a dica do enunciado):
Como \det(A)=3\neq 0, a matriz A é invertível, logo o posto de A é 3. Isso significa que as três linhas de A (ou equivalentemente os três vetores v_{1},v_{2},v_{3}) são linearmente independentes. Uma interpretação geométrica rápida: o paralelepípedo formado por esses três vetores tem volume |\det(A)|=3, diferente de zero, então os vetores não estão no mesmo plano.
Passo 6
(Método alternativo — escalonamento — mostrado passo a passo, útil na prova se preferir evitar determinantes.) Partindo de A:
A matriz está em forma triangular com três pivôs não nulos (1,-1,-3), portanto o posto é 3. Logo os vetores são L.I. (mesma conclusão do determinante).]
Passo 7
Resumo e intuição final: tanto pelo determinante não nulo quanto pelo escalonamento com três pivôs, concluímos que o conjunto \{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2)\} é linearmente independente. Dica de prova rápida na prova: calcular \det de uma 3\times3 ou escalonar; qualquer um dos dois métodos dá resposta direta e rápida.
Resposta
\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2)\} é linearmente independente.