Dado o sistema de equações lineares com então alpha e beta reais
se alpha neq-1, o sistema é impossível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: x + y + z = beta x - y + alpha z = 1 x - y - z = 1 , e . As equações são:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e esse sistema não tem solução, ou seja, é impossível de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema passo a passo. Vamos começar subtraindo a terceira equação da segunda para eliminar o (x - y + alpha z) - (x - y - z) = 1 - 1 :
0 + 0 + (alpha + 1)z = 0
Simplificando:
(alpha + 1)z = 0
Passo 3
Agora, para que essa equação seja verdadeira, temos duas possibilidades:
, ou seja, .
.
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1: x + y + z = beta x - y - z = 1 x - y - z = 1
Se x + y + z = beta x - y - z = 1 , a equação (x + y + z) + (x - y - z) = beta + 1 é sempre verdadeira, independentemente do valor de 2x = beta + 1 . Então, precisamos substituir x = beta + 12 nas outras equações:
beta + 12 - y - z = 1
Perceba que a segunda e a terceira equações são iguais, o que significa que temos duas equações diferentes:
-y - z = 1 - beta + 12
Podemos somar essas duas equações para eliminar -y - z = 2 - beta - 12 e -y - z = 1 - beta2 :
Agora, substituindo de volta na segunda equação:
Essa equação relaciona e , indicando que para , o sistema tem soluções infinitas dependendo dos valores de e .
Passo 5
Caso 2: x + y = beta x - y = 1 x - y = 1
Se x + y = beta x - y = 1 , voltamos às equações originais:
2x = beta + 1
Novamente, a segunda e a terceira equações são iguais:
x = beta + 12
Somando essas duas equações:
beta + 12 - y = 1
-y = 1 - beta + 12
Substituindo -y = 2 - beta - 12 na segunda equação:
-y = 1 - beta2
y = beta - 12
x = beta + 12, y = beta - 12, z = 0
Então, quando e , o sistema tem uma única solução:
Resposta
Portanto, o sistema é impossível de resolver quando , pois somente nesse caso conseguimos uma solução única. Se , o sistema tem soluções infinitas dependendo dos valores de e .