Sejam u=(-3,1,2), v=(4,0,-8) e w=(6,-1,-4). Encontre escalares c1, c2 e c3 tais que c1 u+c2 v+c3 w=(2,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os escalares , e tais que a combinação linear dos vetores , e resulte no vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos vetores com os escalares desconhecidos:
c1 cdot (-3, 1, 2) + c2 cdot (4, 0, -8) + c3 cdot (6, -1, -4) = (2, 0, 4)
Isso significa que cada componente do vetor resultante deve ser igual à componente correspondente do vetor .

Passo 3

Vamos decompor essa equação em três equações, uma para cada componente:
  1. Componente x:
-3c1 + 4c2 + 6c3 = 2
  1. Componente y:
c1 - c3 = 0
  1. Componente z:
2c1 - 8c2 - 4c3 = 4
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a segunda equação, que parece mais simples:
c1 - c3 = 0 Rightarrow c1 = c3
Isso nos dá uma rela��ão direta entre e .

Passo 5

Agora, substituímos -3c1 + 4c2 + 6c1 = 2 Rightarrow ( -3c1 + 6c1 ) + 4c2 = 2 Rightarrow 3c1 + 4c2 = 2 nas primeiras e terceiras equações:
  1. Primeira equação:
2c1 - 8c2 - 4c1 = 4 Rightarrow (2c1 - 4c1) - 8c2 = 4 Rightarrow -2c1 - 8c2 = 4
  1. Terceira equação:
3c1 + 4c2 = 2 -2c1 - 8c2 = 4
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da multiplicação cruzada para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
6c1 + 8c2 = 4 -6c1 - 24c2 = 12
Agora, somamos as duas equações:
(6c1 - 6c1) + (8c2 - 24c2) = 4 + 12 Rightarrow -16c2 = 16
Resolvendo para c2 = 16-16 = -1 :

Passo 7

Com 3c1 + 4(-1) = 2 Rightarrow 3c1 - 4 = 2 Rightarrow 3c1 = 6 Rightarrow c1 = 2 , vamos substituir de volta na primeira equação do sistema de duas equações para encontrar :
Lembrando que , então .

Resposta

Os escalares são , e .

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