Sejam
e
. Encontre escalares
e
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os escalares
,
e
tais que a combinação linear dos vetores
,
e
resulte no vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos vetores com os escalares desconhecidos:
Isso significa que cada componente do vetor resultante deve ser igual à componente correspondente do vetor
.
Passo 3
Vamos decompor essa equação em três equações, uma para cada componente:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a segunda equação, que parece mais simples:
Isso nos dá uma rela��ão direta entre
e
.
Passo 5
Agora, substituímos
nas primeiras e terceiras equações:
- Primeira equação:
- Terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da multiplicação cruzada para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
Agora, somamos as duas equações:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
, vamos substituir de volta na primeira equação do sistema de duas equações para encontrar
:
Lembrando que
, então
.
Resposta
Os escalares são
,
e
.