Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro k. O objetivo é ver como o valor de k afeta as soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos usar o método de matrizes e o conceito de determinante, que nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz dos coeficientes e uma matriz aumentada:
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, a gente precisa analisar mais a fundo.
Como o determinante é 48, que é diferente de zero, isso significa que o sistema tem uma solução única para qualquer valor de k. Ou seja, independente do valor de k, sempre vai ter uma única tripla (x, y, z) que resolve o sistema.
Passo 5
Vamos resolver o sistema para encontrar essa solução única. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação para simplificar.
Primeira equação: -4y + 3z = 1
Segunda equação: 4x - 2z = 2
Terceira equação: 2y - 3x = 3 - k
Vamos isolar x na segunda equação:
4x = 2 + 2z Rightarrow x = 2 + 2z4 = 1 + z2
Agora, substituímos x na terceira equação:
2y - 3(1 + z2) = 3 - k Rightarrow 2y - 32 - 3z2 = 3 - k
Encontramos que k deve ser igual a 5 para que o sistema seja consistente e tenha uma solução única. Vamos verificar substituindo k = 5 nas equações.
Com k = 5, a terceira equação fica:
2y - 3x = 3 - 5 Rightarrow 2y - 3x = -2
Já tínhamos:
x = 1 + z2
e
-4y + 3z = 1
Substituindo x na terceira equação:
2y - 3(1 + z2) = -2 Rightarrow 2y - 32 - 3z2 = -2
Multiplicando por 2:
4y - 3 - 3z = -4 Rightarrow 4y - 3z = -1
Agora temos:
-4y + 3z = 1 4y - 3z = -1
Somando:
0 = 0
Isso confirma que com k = 5, o sistema tem uma solução única.
Resposta
Para k = 5, o sistema linear tem uma solução única. Independentemente de k, o sistema é consistente, mas somente quando k = 5 ele possui uma única solução específica.