Discuta em função de k o seguinte sistema linear: c-4 y+3 z=1 4 x-2 z=2 2 y-3 x=3-k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro k. O objetivo é ver como o valor de k afeta as soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos usar o método de matrizes e o conceito de determinante, que nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz dos coeficientes e uma matriz aumentada:
Matriz dos coeficientes:
0 & -4 & 3 4 & 0 & -2 -3 & 2 & 0
Matriz aumentada:
0 & -4 & 3 & | & 1 4 & 0 & -2 & | & 2 -3 & 2 & 0 & | & 3 - k

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, a gente precisa analisar mais a fundo.
Calculando o determinante:
det = 0 cdot 0 & -2 2 & 0 - (-4) cdot 4 & -2 -3 & 0 + 3 cdot 4 & 0 -3 & 2
det = 0 - (-4)(0 - 6) + 3(8 - 0) = 0 + 24 + 24 = 48

Passo 4

Como o determinante é 48, que é diferente de zero, isso significa que o sistema tem uma solução única para qualquer valor de k. Ou seja, independente do valor de k, sempre vai ter uma única tripla (x, y, z) que resolve o sistema.

Passo 5

Vamos resolver o sistema para encontrar essa solução única. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação para simplificar.
Primeira equação: -4y + 3z = 1
Segunda equação: 4x - 2z = 2
Terceira equação: 2y - 3x = 3 - k
Vamos isolar x na segunda equação:
4x = 2 + 2z Rightarrow x = 2 + 2z4 = 1 + z2
Agora, substituímos x na terceira equação:
2y - 3(1 + z2) = 3 - k Rightarrow 2y - 32 - 3z2 = 3 - k
Multiplicando por 2 para eliminar as frações:
4y - 3 - 3z = 6 - 2k Rightarrow 4y - 3z = 9 - 2k
Agora temos:
  1. -4y + 3z = 1
  2. 4y - 3z = 9 - 2k
Somando as duas equações:
(-4y + 3z) + (4y - 3z) = 1 + 9 - 2k Rightarrow 0 = 10 - 2k Rightarrow 2k = 10 Rightarrow k = 5

Passo 6

Encontramos que k deve ser igual a 5 para que o sistema seja consistente e tenha uma solução única. Vamos verificar substituindo k = 5 nas equações.
Com k = 5, a terceira equação fica:
2y - 3x = 3 - 5 Rightarrow 2y - 3x = -2
Já tínhamos:
x = 1 + z2
e
-4y + 3z = 1
Substituindo x na terceira equação:
2y - 3(1 + z2) = -2 Rightarrow 2y - 32 - 3z2 = -2
Multiplicando por 2:
4y - 3 - 3z = -4 Rightarrow 4y - 3z = -1
Agora temos:
-4y + 3z = 1 4y - 3z = -1
Somando:
0 = 0
Isso confirma que com k = 5, o sistema tem uma solução única.

Resposta

Para k = 5, o sistema linear tem uma solução única. Independentemente de k, o sistema é consistente, mas somente quando k = 5 ele possui uma única solução específica.

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