Verifique que reordenando as equações e incógnitas é possível fazer com que o critério de Sassenfeld seja satisfeito, não o das linhas. Baseado nessa informação, qual o método iterativo mais adequado para se utilizar neste problema?
Lembrete didático: o critério de Sassenfeld dá uma condição suficiente de convergência para o método de Gauss–Seidel. Para uma matriz A=(a_{ij}) e uma ordem das incógnitas definida, define-se \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n por
Se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial. Vou aplicar essa definição procurando uma permutação (reordenação) das incógnitas e das equações que torne \max\beta_i<1.
Passo 3
Observação sobre dominância por linhas (o critério de linha): uma matriz é estritamente diagonalmente dominantes por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Vou primeiro checar que, na ordem original das equações e incógnitas, esse critério falha.
Cálculo para a matriz original A:
Linha 1: |a_{11}|=|4| e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|2|+|6|=8. Como 4\not>8, falha.
Linha 2: |a_{22}|=|-1|=1 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|4|+|3|=7. Falha.
Linha 3: |a_{33}|=|3| e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|{-1}|+|5|=6. Falha.
Conclusão: o critério da dominância por linhas (estrita) NÃO se verifica na ordem original — portanto não é garantida a convergência do método de Jacobi pela dominância de linhas.
Passo 4
Agora vou procurar uma reordenação que satisfaça Sassenfeld. Testei a permutação das incógnitas para a ordem (y,z,x) — isto é, trocar as colunas da matriz na ordem colunas 2,3,1 — e reordenar as equações na ordem (3,1,2) (ou seja, agrupar a equação original 3 primeiro, depois a 1 e depois a 2). Vou escrever a matriz resultante após essa permutação de linhas e colunas.
Pegar da imagem do sistema (os coeficientes estão no enunciado): a linha correspondente à equação original 3 é [-1,\;5,\;3]. Reordenando colunas para (y,z,x) obtém-se [5,\;3,\;-1].
A linha da equação original 1 é [4,\;2,\;6], que vira [2,\;6,\;4].
A linha da equação original 2 é [4,\;-1,\;3], que vira [-1,\;3,\;4].
Logo a matriz permutada A_{\text{perm}} (linhas na ordem 3,1,2 e colunas na ordem y,z,x) é
Concluímos que, com essa reordenação, o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Passo 6
Verificação adicional: o critério de dominância por linhas continua não sendo estritamente satisfeito mesmo após a permutação (mostra que só Sassenfeld ficou satisfeito). Para A_{\text{perm}} temos:
Linha 1: |a_{11}|=5 e soma dos outros |3|+|{-1}|=4. Aqui 5>4 (ok).
Linha 2: |a_{22}|=6 e soma dos outros |2|+|4|=6. Aqui 6\not>6 (é igual) — não é estrita.
Linha 3: |a_{33}|=4 e soma dos outros |{-1}|+|3|=4. Aqui 4\not>4 (é igual).
Logo a matriz permutada NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (duas linhas são apenas igualitárias), ou seja, o critério estrito por linhas continua não satisfeito.
Passo 7
Interpretação prática e escolha do método:
O critério de Sassenfeld com \max\beta_i<1 garante a convergência do método de Gauss–Seidel para qualquer chute inicial (após usar a ordem das incógnitas/equações que gerou essas \beta_i).
A dominância por linhas estrita, que também garantiria convergência da iteração de Jacobi (e da de Gauss–Seidel), não se verifica aqui; portanto não há garantia teórica de convergência para Jacobi com a ordem original.
Conclusão: o método iterativo mais adequado é o método de Gauss–Seidel (usando a reordenação das incógnitas para (y,z,x) e das equações na ordem (3,1,2) que faz \max\beta_i\approx0{,}9333<1). Isso garante convergência.
Resposta
Método de Gauss–Seidel (após reordenar as incógnitas para (y,z,x) e as equações na ordem (3,1,2), obtendo \max\beta_i\approx0{,}9333<1).