Represente num sistemas de eixo cartesiano os pontos cujas coordenadas polares são dadas abaixo:
(-3,3 \pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede que se represente em um sistema de eixos cartesianos o ponto cuja coordenada polar é (-3,\,3\pi/4).
Informações dadas:
  • O ponto em coordenadas polares é \big(r,\theta\big)=\big(-3,\,3\pi/4\big).

Passo 2

O que significa uma coordenada polar \big(r,\theta\big)?
  • \;r é a distância orientada do ponto até a origem (pode ser negativa).
  • \;\theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x, no sentido anti-horário, em radianos.
Fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui:
  • x é a abscissa (posição horizontal),
  • y é a ordenada (posição vertical),
  • r e \theta são os dados no enunciado.
Comentário importante sobre r negativo:
  • Se r<0, o ponto fica na direção oposta ao ângulo \theta, à distância |r|.
  • Equivalentemente, \big(r,\theta\big) com r<0 representa o mesmo ponto que \big(|r|,\theta+\pi\big) com |r|>0.

Passo 3

Vamos calcular os valores de \cos\theta e \sin\theta para \theta=3\pi/4.
No círculo trigonométrico, \theta=3\pi/4 corresponde a 135^\circ, que está no segundo quadrante. Os valores conhecidos são:
\cos\!\left(3\pi/4\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(3\pi/4\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas de conversão com r=-3 e \theta=3\pi/4:
x = r\cos\theta = -3\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2},
y = r\sin\theta = -3\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Mostrando a conta passo a passo:
  • Multiplicando -3 por -\dfrac{\sqrt{2}}{2} +\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
  • Multiplicando -3 por +\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia sobre r negativo):
  • Troca-se para r'=|r|=3 e \theta'=\theta+\pi=3\pi/4+\pi=7\pi/4.
  • Então
\cos\!\left(7\pi/4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(7\pi/4\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
e
x = 3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},\qquad y = 3\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{2},
que coincide com o resultado anterior.

Passo 6

Interpretação geométrica e como desenhar:
  • O ponto tem coordenadas cartesianas \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right).
  • Aproximação decimal útil para plotar: \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}121, então o ponto é aproximadamente (2{,}121,\,-2{,}121).
  • Para representar no plano: desenhar eixos x e y, marcar em x a abscissa \dfrac{3\sqrt{2}}{2} à direita da origem e em y a ordenada -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} para baixo; o ponto fica no quarto quadrante, na posição indicada.

Resposta

\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)

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